Demuestra: \(\frac{\sec\alpha}{\tan\alpha+\cot\alpha}=\sin\alpha\)

Resolución paso a paso

Primero simplificamos el denominador:

\[
\tan\alpha+\cot\alpha
=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}
=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}
=\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}.
\]

Sustituimos también \(\sec\alpha=\dfrac{1}{\cos\alpha}\):

\[
\frac{\sec\alpha}{\tan\alpha+\cot\alpha}
=\frac{\dfrac{1}{\cos\alpha}}{\dfrac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}}.
\]

Dividimos por la fracción:

\[
\frac{1}{\cos\alpha}\cdot\sin\alpha\cos\alpha=\sin\alpha.
\]

Por tanto,

\[
\boxed{\frac{\sec\alpha}{\tan\alpha+\cot\alpha}=\sin\alpha}.
\]