Simplifica: \(\frac{\sin(\pi+\alpha)\tan\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}{\sec^2\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\left(1-\cos^2\alpha\right)\cos\alpha}-\cos^2\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\)
Matemáticas 1 · 1º Bachillerato
Ficha del problema
Enunciado
Simplifica la siguiente expresión:
\[
\frac{\sin(\pi+\alpha)\tan\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}{\sec^2\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\left(1-\cos^2\alpha\right)\cos\alpha}-\cos^2\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)
\]
🟣 Resolución paso a paso
Resolución paso a paso
Aplicamos las relaciones de ángulos asociados:
\[
\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha,\qquad
\tan\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\cot\alpha,
\]
\[
\sec^2\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\csc^2\alpha,
\qquad
\cos^2\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\sin^2\alpha.
\]
Además, \(1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\). Sustituimos todo:
\[
\frac{(-\sin\alpha)(-\cot\alpha)}
{\csc^2\alpha\cdot\sin^2\alpha\cdot\cos\alpha}
-\sin^2\alpha.
\]
El numerador de la fracción es
\[
\sin\alpha\cot\alpha
=\sin\alpha\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}
=\cos\alpha,
\]
y, como \(\csc^2\alpha\sin^2\alpha=1\), su denominador también es \(\cos\alpha\). Por ello:
\[
1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha.
\]
El resultado es
\[
\boxed{\cos^2\alpha}.
\]