E7 – Desigualdad y área entre dos parábolas
Castilla y León · 2021 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dadas las funciones:
\[
f(x)=x^2,
\qquad
g(x)=-x^2+8,
\]
- Hallar los valores de \(x\in\mathbb R\) para los que \(g(x)\geq f(x)\). (0,5 puntos)
- Calcular el área limitada por las gráficas de \(f\) y \(g\). (1,5 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
La desigualdad del primer apartado determina precisamente el intervalo en el que \(g\) queda por encima de \(f\). Ese intervalo será el de integración para calcular el área.
🔵 Conceptos matemáticos
- Resolución de una desigualdad cuadrática.
- Puntos de corte entre dos funciones.
- Área entre curvas mediante una integral definida.
🟢 Estrategia de resolución
Resolveremos \(g(x)\geq f(x)\), identificaremos los puntos de corte y calcularemos \(\int(g-f)\) en el intervalo donde la diferencia es no negativa.
🟣 Resolución paso a paso
a) Valores para los que \(g(x)\geq f(x)\)
Planteamos la desigualdad:
\[
-x^2+8\geq x^2.
\]
Reordenamos:
\[
8\geq2x^2
\quad\Longleftrightarrow\quad
x^2\leq4.
\]
Por tanto:
\[
\boxed{x\in[-2,2]}.
\]
En los extremos se cumple \(f(x)=g(x)\), de modo que los puntos de corte son:
\[
(-2,4)\quad\text{y}\quad(2,4).
\]
b) Área limitada por las gráficas
En \([-2,2]\), la función superior es \(g\) y la inferior es \(f\). Luego:
\[
A=\int_{-2}^{2}\bigl(g(x)-f(x)\bigr)\,dx
=\int_{-2}^{2}(8-2x^2)\,dx.
\]
Calculamos primero una primitiva:
\[
\int(8-2x^2)\,dx
=8x-\frac{2}{3}x^3+C.
\]
Aplicamos la regla de Barrow:
\[
\begin{aligned}
A
&=\left[8x-\frac{2}{3}x^3\right]_{-2}^{2}\\
&=\left(16-\frac{16}{3}\right)
-\left(-16+\frac{16}{3}\right)\\
&=\frac{32}{3}+\frac{32}{3}\\
&=\boxed{\frac{64}{3}}.
\end{aligned}
\]
El área pedida es \(\frac{64}{3}\) unidades cuadradas.
Qué debes aprender de este problema
- Los puntos de corte se obtienen igualando las dos funciones.
- En un área entre curvas hay que restar función superior menos función inferior.
- Antes de aplicar Barrow conviene escribir explícitamente la primitiva.