E2 – Ecuación matricial con cambio de base
Castilla y León · 2021 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dadas las matrices:
\[
M=
\begin{pmatrix}
0&1\\
-1&1
\end{pmatrix},
\qquad
N=
\begin{pmatrix}
-1&0\\
0&2
\end{pmatrix},
\]
hallar la matriz \(P\) que verifica:
\[
M^{-1}PM=N.
\]
(2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Para aislar \(P\), hay que multiplicar por las matrices inversas adecuadas en lados concretos. El orden de los factores es esencial.
🔵 Conceptos matemáticos
- Inversa de una matriz de orden \(2\).
- Despeje en ecuaciones matriciales.
- Producto no conmutativo de matrices.
🟢 Estrategia de resolución
Multiplicaremos por \(M\) a la izquierda y por \(M^{-1}\) a la derecha. Después calcularemos \(M^{-1}\) y efectuaremos los productos en el orden obtenido.
🟣 Resolución paso a paso
1. Despeje de \(P\)
Partimos de:
\[
M^{-1}PM=N.
\]
Multiplicamos por \(M\) a la izquierda:
\[
MM^{-1}PM=MN
\quad\Longrightarrow\quad
PM=MN.
\]
Ahora multiplicamos por \(M^{-1}\) a la derecha:
\[
PMM^{-1}=MNM^{-1}
\quad\Longrightarrow\quad
P=MNM^{-1}.
\]
2. Cálculo de \(M^{-1}\)
El determinante de \(M\) es:
\[
\det M=0\cdot1-1\cdot(-1)=1.
\]
Por tanto:
\[
M^{-1}
=
\begin{pmatrix}
1&-1\\
1&0
\end{pmatrix}.
\]
3. Productos matriciales
Calculamos primero \(MN\):
\[
MN=
\begin{pmatrix}
0&1\\
-1&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-1&0\\
0&2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0&2\\
1&2
\end{pmatrix}.
\]
Finalmente:
\[
\begin{aligned}
P
&=(MN)M^{-1}\\
&=
\begin{pmatrix}
0&2\\
1&2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&-1\\
1&0
\end{pmatrix}\\
&=
\boxed{
\begin{pmatrix}
2&0\\
3&-1
\end{pmatrix}}.
\end{aligned}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Para eliminar \(M^{-1}\) a la izquierda se multiplica por \(M\) también a la izquierda.
- Para eliminar \(M\) a la derecha se multiplica por \(M^{-1}\) a la derecha.
- Cambiar el orden de los factores puede cambiar por completo el resultado.