E1 – Discusión y resolución de un sistema con parámetro
Castilla y León · 2021 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Se considera el sistema de ecuaciones lineales:
\[
\begin{cases}
x+y+z=0,\\
x-\lambda y=1,\\
2x+\lambda z=1.
\end{cases}
\]
- Discutirlo según los valores del parámetro \(\lambda\). (1,2 puntos)
- Resolverlo para \(\lambda=1\). (0,8 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
El sistema no es homogéneo, por lo que al anularse el determinante puede resultar compatible indeterminado o incompatible. Hay que estudiar ambos valores críticos por separado.
🔵 Conceptos matemáticos
- Determinante de la matriz de coeficientes.
- Teorema de Rouché-Frobenius.
- Discusión de sistemas con parámetro.
🟢 Estrategia de resolución
Calcularemos el determinante, resolveremos directamente el caso regular y compararemos los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada cuando \(\lambda=0\) y \(\lambda=1\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Discusión según \(\lambda\)
La matriz de coeficientes y la matriz ampliada son:
\[
A=
\begin{pmatrix}
1&1&1\\
1&-\lambda&0\\
2&0&\lambda
\end{pmatrix},
\qquad
A^*=
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&1&1&0\\
1&-\lambda&0&1\\
2&0&\lambda&1
\end{array}
\right).
\]
Calculamos el determinante:
\[
\det A
=-\lambda^2+\lambda
=\lambda(1-\lambda).
\]
Primer caso: \(\lambda\neq0,1\)
Entonces \(\det A\neq0\), de modo que el sistema es compatible determinado.
Además, podemos obtener la solución de forma sencilla. De las dos últimas ecuaciones:
\[
y=\frac{x-1}{\lambda},
\qquad
z=\frac{1-2x}{\lambda}.
\]
Sustituimos en la primera:
\[
x+\frac{x-1}{\lambda}+\frac{1-2x}{\lambda}=0
\quad\Longrightarrow\quad
x\left(1-\frac1\lambda\right)=0.
\]
Como \(\lambda\neq1\), se obtiene \(x=0\), y por tanto:
\[
\boxed{(x,y,z)=\left(0,-\frac1\lambda,\frac1\lambda\right)}.
\]
Segundo caso: \(\lambda=0\)
Las dos últimas ecuaciones quedan:
\[
x=1,
\qquad
2x=1.
\]
Son incompatibles entre sí. En términos de rangos:
\[
\operatorname{rg}(A)=2<3=\operatorname{rg}(A^*).
\]
Por tanto, el sistema es incompatible.
Tercer caso: \(\lambda=1\)
El sistema queda:
\[
\begin{cases}
x+y+z=0,\\
x-y=1,\\
2x+z=1.
\end{cases}
\]
La primera ecuación es la suma de la segunda y la tercera después de reordenarlas, por lo que:
\[
\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2<3.
\]
El sistema es compatible indeterminado.
b) Resolución para \(\lambda=1\)
Tomamos \(x=t\). De la segunda ecuación:
\[
t-y=1
\quad\Longrightarrow\quad
y=t-1.
\]
De la tercera:
\[
2t+z=1
\quad\Longrightarrow\quad
z=1-2t.
\]
Por tanto:
\[
\boxed{(x,y,z)=(t,t-1,1-2t),\qquad t\in\mathbb R.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- En un sistema no homogéneo, determinante nulo no determina por sí solo el tipo de sistema.
- Hay que comparar los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada.
- Una variable libre genera una familia de soluciones con un parámetro.