E3 – Posición relativa de dos rectas y plano común
Castilla y León · 2021 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dadas las rectas:
\[
r\equiv x=y+1=\frac{z-2}{2},
\qquad
s\equiv
\begin{cases}
x-y+3=0,\\
2x-z+3=0,
\end{cases}
\]
- Determinar la posición relativa de \(r\) y \(s\). (1 punto)
- Hallar la ecuación del plano que contiene a \(r\) y \(s\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Para comparar las rectas conviene expresar ambas en forma paramétrica. Si tienen vectores directores proporcionales, habrá que comprobar si coinciden o son paralelas distintas.
🔵 Conceptos matemáticos
- Parametrización de una recta.
- Posición relativa de dos rectas en el espacio.
- Plano determinado por dos rectas paralelas.
🟢 Estrategia de resolución
Obtendremos un punto y un vector director de cada recta. Si son paralelas distintas, usaremos el vector común y el vector que une ambas rectas para construir el plano.
🟣 Resolución paso a paso
a) Posición relativa
Parametrizamos \(r\) tomando:
\[
x=y+1=\frac{z-2}{2}=t.
\]
Entonces:
\[
r\equiv
\begin{cases}
x=t,\\
y=t-1,\\
z=2+2t,
\end{cases}
\]
por lo que un punto y un vector director son:
\[
A=(0,-1,2),
\qquad
\vec v_r=(1,1,2).
\]
Parametrizamos \(s\). Tomando \(x=u\), las ecuaciones proporcionan:
\[
y=u+3,
\qquad
z=2u+3.
\]
Así:
\[
s\equiv
\begin{cases}
x=u,\\
y=u+3,\\
z=2u+3,
\end{cases}
\]
y podemos tomar:
\[
B=(0,3,3),
\qquad
\vec v_s=(1,1,2).
\]
Los vectores directores son iguales. Las rectas no coinciden porque \(A\notin s\):
\[
0-(-1)+3=4\neq0.
\]
Por tanto:
\[
\boxed{r\text{ y }s\text{ son paralelas distintas}.}
\]
b) Plano que contiene a las dos rectas
Además del vector común \(\vec v=(1,1,2)\), usamos el vector que une las rectas:
\[
\overrightarrow{AB}=B-A=(0,4,1).
\]
Un vector normal del plano es:
\[
\begin{aligned}
\vec n
&=\vec v\times\overrightarrow{AB}\\
&=
\begin{vmatrix}
\vec i&\vec j&\vec k\\
1&1&2\\
0&4&1
\end{vmatrix}\\
&=(-7,-1,4).
\end{aligned}
\]
Usando el punto \(A=(0,-1,2)\):
\[
-7(x-0)-(y+1)+4(z-2)=0.
\]
Simplificamos:
\[
-7x-y+4z-9=0.
\]
Una ecuación equivalente del plano es:
\[
\boxed{\pi\equiv7x+y-4z+9=0}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Vectores directores proporcionales indican rectas paralelas o coincidentes.
- Un punto de una recta permite distinguir entre coincidencia y paralelismo estricto.
- Dos rectas paralelas distintas determinan un único plano.