E8 – Existencia y unicidad de una raíz
Castilla y León · 2021 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Se considera la función:
\[
f(x)=x-\cos x.
\]
- Demostrar que la ecuación \(f(x)=0\) tiene al menos una solución en el intervalo \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\). (1 punto)
- Probar que la ecuación \(f(x)=0\) solo puede tener una solución en \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\), de modo que la solución del apartado anterior es la única. (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
La existencia se demuestra con el teorema de Bolzano. Para la unicidad necesitamos probar que la función no puede volver a tomar el valor cero, lo que se consigue estudiando su monotonía.
🔵 Conceptos matemáticos
- Teorema de Bolzano.
- Continuidad en un intervalo cerrado.
- Monotonía estricta y unicidad de una raíz.
🟢 Estrategia de resolución
Comprobaremos la continuidad y el cambio de signo entre los extremos. Después calcularemos \(f'\) y probaremos que es positiva en todo el intervalo.
🟣 Resolución paso a paso
a) Existencia de una solución
La función:
\[
f(x)=x-\cos x
\]
es continua en \(\mathbb R\) y, en particular, en \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\).
Evaluamos los extremos:
\[
f(0)=0-\cos0=-1<0,
\]
\[
f\left(\frac{\pi}{2}\right)
=\frac{\pi}{2}-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)
=\frac{\pi}{2}>0.
\]
Como la función es continua y cambia de signo, el teorema de Bolzano garantiza que existe al menos un número:
\[
c\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)
\]
tal que \(f(c)=0\).
b) Unicidad de la solución
Calculamos la derivada:
\[
f'(x)=1+\sin x.
\]
En \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\), se cumple \(\sin x\geq0\). Por tanto:
\[
f'(x)=1+\sin x\geq1>0.
\]
La función es estrictamente creciente en todo el intervalo. Una función estrictamente creciente no puede tomar el mismo valor en dos puntos distintos; en particular, no puede anularse dos veces.
Como en el apartado anterior se ha probado que existe una raíz y ahora se ha demostrado que no puede haber más de una:
\[
\boxed{\text{la ecuación }x-\cos x=0\text{ tiene una única solución en }
\left[0,\frac{\pi}{2}\right].}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Bolzano demuestra existencia, pero no unicidad.
- El cambio de signo debe acompañarse de la continuidad en todo el intervalo.
- Una función estrictamente monótona puede cortar una recta horizontal como máximo una vez.