B1 – Invertibilidad e inversa de una matriz
Castilla y León · 2019 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Sea
\[
A=\begin{pmatrix}
k-1&2&-2\\
0&k-2&1\\
1&0&1
\end{pmatrix}.
\]
- Determine los valores de \(k\) para los que \(A\) es invertible. (1 punto)
- Calcule \(A^{-1}\) para \(k=2\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Una matriz cuadrada es invertible exactamente cuando su determinante no se anula. Para el valor indicado calcularemos la inversa y comprobaremos el resultado.
🔵 Conceptos matemáticos
- Determinante dependiente de un parámetro.
- Condición de invertibilidad.
- Matriz adjunta e inversa.
- Comprobación mediante el producto \(AA^{-1}\).
🟢 Estrategia de resolución
Calculamos y factorizamos \(\det A\). Después sustituimos \(k=2\) y aplicamos \(A^{-1}=(1/\det A)\operatorname{Adj}(A)\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Valores de \(k\)
\[
\det A=
\begin{vmatrix}
k-1&2&-2\\
0&k-2&1\\
1&0&1
\end{vmatrix}.
\]
Desarrollando por la primera fila:
\[
\det A=(k-1)(k-2)+2+2(k-2)
=k^2-k
=k(k-1).
\]
Por tanto:
\[
A\text{ es invertible}
\iff
\det A\neq0
\iff
\boxed{k\neq0,\;k\neq1}.
\]
b) Inversa para \(k=2\)
\[
A=
\begin{pmatrix}
1&2&-2\\
0&0&1\\
1&0&1
\end{pmatrix},
\qquad
\det A=2.
\]
La matriz de cofactores es:
\[
C=
\begin{pmatrix}
0&1&0\\
-2&3&2\\
2&-1&0
\end{pmatrix}.
\]
Luego:
\[
A^{-1}
=\frac1{\det A}C^{T}
=\frac12
\begin{pmatrix}
0&-2&2\\
1&3&-1\\
0&2&0
\end{pmatrix}.
\]
\[
\boxed{
A^{-1}=
\begin{pmatrix}
0&-1&1\\
\frac12&\frac32&-\frac12\\
0&1&0
\end{pmatrix}}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Los valores que anulan el determinante son precisamente los que impiden la existencia de la inversa.
- La adjunta es la traspuesta de la matriz de cofactores.
- Puede verificarse la inversa comprobando que \(AA^{-1}=I\).