A5 – Notas de EBAU con distribución normal
Castilla y León · 2019 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Las notas de Matemáticas II de 500 alumnos siguen una distribución normal de media \(6{,}5\) y desviación típica \(2\).
- Calcule la probabilidad de que un alumno haya obtenido más de \(8\) puntos. (1 punto)
- ¿Cuántos alumnos obtuvieron notas menores de \(5\) puntos? (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
La variable debe tipificarse para utilizar la tabla de la normal estándar. La simetría permite calcular probabilidades a la izquierda de valores negativos.
🔵 Conceptos matemáticos
- Distribución normal.
- Tipificación \(Z=(X-\mu)/\sigma\).
- Simetría de la normal estándar.
- Estimación de una frecuencia a partir de una probabilidad.
🟢 Estrategia de resolución
Definimos \(X\sim N(6{,}5,2)\), tipificamos los valores \(8\) y \(5\), consultamos la tabla y multiplicamos la segunda probabilidad por 500.
🟣 Resolución paso a paso
Sea \(X\sim N(\mu=6{,}5,\sigma=2)\).
a) Probabilidad de obtener más de 8 puntos
\[
P(X>8)
=P\left(Z>\frac{8-6{,}5}{2}\right)
=P(Z>0{,}75).
\]
\[
P(Z>0{,}75)=1-\Phi(0{,}75)=1-0{,}7734.
\]
\[
\boxed{P(X>8)=0{,}2266}.
\]
b) Alumnos con nota menor de 5
\[
P(X<5)
=P\left(Z<\frac{5-6{,}5}{2}\right)
=P(Z<-0{,}75).
\]
Por simetría:
\[
P(Z<-0{,}75)=1-\Phi(0{,}75)=0{,}2266.
\]
El número esperado de alumnos es:
\[
500\cdot0{,}2266=113{,}3.
\]
\[
\boxed{\text{Aproximadamente }113\text{ alumnos}}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Al tipificar hay que restar la media y dividir entre la desviación típica.
- La tabla proporciona \(\Phi(z)=P(Z\leq z)\).
- El número de alumnos se obtiene multiplicando la probabilidad por el total.