B3 – Determinación de un polinomio mediante extremos
Castilla y León · 2019 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Sea \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\). Se sabe que \(f(0)=1\), \(f(1)=0\) y que tiene extremos relativos en \(x=0\) y \(x=1\). Calcule \(a\), \(b\), \(c\) y \(d\). (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Los valores de la función proporcionan dos ecuaciones. Que \(0\) y \(1\) sean puntos de extremo aporta otras dos condiciones mediante \(f'(0)=f'(1)=0\).
🔵 Conceptos matemáticos
- Valor de una función en un punto.
- Condición necesaria de extremo derivable.
- Derivada de un polinomio.
- Resolución de un sistema lineal.
🟢 Estrategia de resolución
Traducimos cada dato a una ecuación, derivamos el polinomio y resolvemos el sistema formado por las cuatro condiciones.
🟣 Resolución paso a paso
Partimos de:
\[
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d.
\]
Condiciones sobre los valores
\[
f(0)=d=1.
\]
\[
f(1)=a+b+c+d=0
\quad\Longrightarrow\quad
a+b+c=-1.
\]
Condiciones de extremo
\[
f'(x)=3ax^2+2bx+c.
\]
Como hay extremos relativos en \(x=0\) y \(x=1\):
\[
f'(0)=c=0,
\]
\[
f'(1)=3a+2b+c=0
\quad\Longrightarrow\quad
3a+2b=0.
\]
Con \(c=0\), la condición \(a+b+c=-1\) queda \(a+b=-1\). Resolvemos:
\[
\begin{cases}
a+b=-1,\\
3a+2b=0.
\end{cases}
\]
Multiplicando la primera por \(2\) y restando:
\[
a=2,\qquad b=-3.
\]
Por tanto:
\[
\boxed{a=2,\quad b=-3,\quad c=0,\quad d=1}.
\]
El polinomio es:
\[
\boxed{f(x)=2x^3-3x^2+1}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Cada dato del enunciado debe convertirse en una ecuación.
- En un extremo interior de una función derivable se cumple \(f'(x)=0\).
- Conviene comprobar el polinomio final en las cuatro condiciones.