A4 – Límite exponencial y área entre rectas
Castilla y León · 2019 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Calcule
\[
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{e^x-\cos x}.
\]
(1 punto) - Calcule \(a>1\) para que el área comprendida entre \(f(x)=x\), \(g(x)=ax\) y \(x=1\) sea \(1\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
El límite presenta una forma \(0/0\). En el área, las dos rectas se cortan en el origen y la condición \(a>1\) determina cuál está por encima.
🔵 Conceptos matemáticos
- Indeterminación \(0/0\).
- Regla de L’Hôpital.
- Área entre rectas.
- Ecuación con un parámetro.
🟢 Estrategia de resolución
Identificamos la indeterminación y aplicamos L’Hôpital una vez. Para el área hallamos el punto de corte, integramos la diferencia entre las rectas y despejamos \(a\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Cálculo del límite
Sustituimos \(x=0\):
\[
\frac{\sin0}{e^0-\cos0}=\frac00.
\]
Obtenemos la indeterminación \(\boldsymbol{0/0}\). Aplicamos L’Hôpital:
\[
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{e^x-\cos x}
=
\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{e^x+\sin x}.
\]
Ahora la sustitución es directa:
\[
\frac{\cos0}{e^0+\sin0}
=\frac11
=\boxed{1}.
\]
b) Determinación de \(a\)
Las rectas se cortan cuando:
\[
x=ax
\quad\Longrightarrow\quad
(a-1)x=0.
\]
Como \(a>1\), el único punto de corte es \(x=0\). Para \(x\in[0,1]\), se cumple \(ax\geq x\). El área es:
\[
A=\int_0^1(ax-x)\,dx
=\int_0^1(a-1)x\,dx.
\]
Calculamos la primitiva:
\[
\int(a-1)x\,dx=\frac{a-1}{2}x^2+C.
\]
Aplicamos Barrow e imponemos \(A=1\):
\[
\left[\frac{a-1}{2}x^2\right]_0^1
=\frac{a-1}{2}
=1.
\]
\[
a-1=2
\quad\Longrightarrow\quad
\boxed{a=3}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- L’Hôpital solo se aplica después de reconocer una indeterminación válida.
- La condición \(a>1\) fija el orden de las rectas.
- El área se obtiene integrando la función superior menos la inferior.