A3 – Extremos de una función definida a trozos
Castilla y León · 2019 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Sea
\[
f(x)=
\begin{cases}
-x^2-2x,&x<0,\\
x^2-4x,&x\geq0.
\end{cases}
\]
- Pruebe que posee un máximo relativo en \(-1\) y un mínimo relativo en \(2\). (1,4 puntos)
- Pruebe que no posee extremo relativo en \(0\). (0,6 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
Cada rama se estudia con su derivada. En el punto de unión no basta con observar que la función no es derivable: hay que analizar el comportamiento a ambos lados.
🔵 Conceptos matemáticos
- Funciones definidas a trozos.
- Primera y segunda derivada.
- Extremos relativos.
- Monotonía lateral.
🟢 Estrategia de resolución
Derivamos cada rama, localizamos los puntos críticos y usamos la segunda derivada. En \(x=0\) comprobamos continuidad, derivadas laterales y monotonía en un entorno.
🟣 Resolución paso a paso
a) Extremos en \(x=-1\) y \(x=2\)
Para \(x<0\):
\[
f'(x)=-2x-2,
\qquad
f''(x)=-2.
\]
\[
f'(x)=0
\quad\Longrightarrow\quad
x=-1.
\]
Como \(f''(-1)=-2<0\), existe un máximo relativo en \(x=-1\). Su valor es:
\[
f(-1)=-1+2=1.
\]
\[
\boxed{\text{Máximo relativo en }(-1,1)}.
\]
Para \(x>0\):
\[
f'(x)=2x-4,
\qquad
f''(x)=2.
\]
\[
f'(x)=0
\quad\Longrightarrow\quad
x=2.
\]
Como \(f''(2)=2>0\), existe un mínimo relativo en \(x=2\). Su valor es:
\[
f(2)=4-8=-4.
\]
\[
\boxed{\text{Mínimo relativo en }(2,-4)}.
\]
b) Estudio del punto \(x=0\)
La función es continua en \(0\):
\[
\lim_{x\to0^-}(-x^2-2x)=0,
\qquad
\lim_{x\to0^+}(x^2-4x)=0=f(0).
\]
Las derivadas laterales son distintas:
\[
f'_-(0)=-2,
\qquad
f'_+(0)=-4.
\]
Aunque no sea derivable, todavía debemos decidir si hay extremo. Cerca de \(0\):
\[
f'(x)=-2x-2<0\quad(x<0\text{ próximo a }0),
\]
\[
f'(x)=2x-4<0\quad(x>0\text{ próximo a }0).
\]
La función decrece a ambos lados de \(0\); no cambia de creciente a decreciente ni al contrario.
\[
\boxed{x=0\text{ no es un extremo relativo}}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- Cada rama solo se deriva en su intervalo de definición.
- La segunda derivada clasifica los puntos críticos interiores de cada rama.
- Un punto no derivable puede ser extremo; por eso hay que estudiar la monotonía lateral.