B3 – Teorema de Rolle y unicidad de una raíz
Castilla y León · 2019 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Enuncie el teorema de Rolle. (1 punto)
- Indique un punto donde \(f(x)=2x-\sin x\) tome el valor \(0\) y demuestre que solo se anula en ese punto. (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Primero debemos formular con precisión las hipótesis y la conclusión de Rolle. Para la unicidad podemos usar una contradicción basada en ese teorema o estudiar el signo de la derivada.
🔵 Conceptos matemáticos
- Teorema de Rolle.
- Continuidad y derivabilidad.
- Unicidad de ceros.
- Monotonía estricta.
🟢 Estrategia de resolución
Comprobamos directamente que \(x=0\) es una raíz. Después calculamos \(f'(x)\); al ser siempre positiva, la función es estrictamente creciente y no puede tener otra raíz.
🟣 Resolución paso a paso
a) Teorema de Rolle
Si una función \(f\) es continua en un intervalo cerrado \([a,b]\), derivable en el intervalo abierto \((a,b)\) y cumple \(f(a)=f(b)\), entonces existe al menos un punto \(c\in(a,b)\) tal que:
\[
\boxed{f'(c)=0}.
\]
b) Cero y demostración de su unicidad
Comprobamos el origen:
\[
f(0)=2\cdot0-\sin0=0.
\]
Por tanto, \(x=0\) es una raíz. Ahora derivamos:
\[
f'(x)=2-\cos x.
\]
Como \(-1\leq\cos x\leq1\), se cumple:
\[
f'(x)=2-\cos x\geq1>0
\qquad\text{para todo }x\in\mathbb R.
\]
Así, \(f\) es estrictamente creciente en \(\mathbb R\). Una función estrictamente creciente no puede tomar el mismo valor en dos puntos distintos; en particular, no puede tener dos ceros.
\[
\boxed{x=0\text{ es la única raíz de }f(x)=2x-\sin x}.
\]
Equivalentemente, si existiera otra raíz, Rolle garantizaría un punto con \(f'(c)=0\), lo cual es imposible porque \(f'(x)\geq1\).
Qué debes aprender de este problema
- Rolle exige continuidad en el cerrado y derivabilidad en el abierto.
- Una derivada estrictamente positiva implica crecimiento estricto.
- La monotonía estricta garantiza como máximo una raíz.