B4 – Continuidad e integral de una función a trozos
Castilla y León · 2019 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Determine \(a\) y \(b\) para que
\[
f(x)=
\begin{cases}
a+\cos x,&x\leq0,\\
x^2-2bx+1,&x>0,
\end{cases}
\]
sea continua y verifique
\[
\int_0^1 f(x)\,dx=\frac13.
\]
(2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
La continuidad solo puede fallar en el punto donde cambia la definición. La integral entre \(0\) y \(1\) utiliza la segunda rama, salvo en un único punto que no altera su valor.
🔵 Conceptos matemáticos
- Continuidad de una función a trozos.
- Límites laterales.
- Integral definida.
- Regla de Barrow.
🟢 Estrategia de resolución
Imponemos que el valor y los límites laterales coincidan en \(x=0\) para hallar \(a\). Después calculamos la primitiva de la segunda rama e imponemos el valor de la integral para obtener \(b\).
🟣 Resolución paso a paso
1. Condición de continuidad en \(x=0\)
Por la izquierda y en el propio punto:
\[
\lim_{x\to0^-}f(x)=f(0)=a+\cos0=a+1.
\]
Por la derecha:
\[
\lim_{x\to0^+}f(x)
=\lim_{x\to0^+}(x^2-2bx+1)
=1.
\]
Para que sea continua:
\[
a+1=1
\quad\Longrightarrow\quad
\boxed{a=0}.
\]
2. Condición sobre la integral
En \((0,1]\) se utiliza la segunda rama:
\[
\int_0^1f(x)\,dx
=\int_0^1(x^2-2bx+1)\,dx.
\]
Calculamos primero la primitiva:
\[
\int(x^2-2bx+1)\,dx
=\frac{x^3}{3}-bx^2+x+C.
\]
Aplicamos Barrow:
\[
\int_0^1f(x)\,dx
=
\left[\frac{x^3}{3}-bx^2+x\right]_0^1
=\frac13-b+1
=\frac43-b.
\]
Imponemos el valor indicado:
\[
\frac43-b=\frac13
\quad\Longrightarrow\quad
b=1.
\]
\[
\boxed{a=0,\qquad b=1}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- En una función a trozos se estudian únicamente los puntos de unión.
- El valor de una función en un punto aislado no modifica una integral definida.
- Antes de aplicar Barrow debe obtenerse la primitiva completa.