Las edades de Ángel y Manuel
Matemáticas 1 · 1º Bachillerato
Ficha del problema
Enunciado
Cuando Ángel nació, su hermano Manuel tenía más de 5 años. Hace 2 años, la edad de Ángel era superior a la tercera parte de la edad de Manuel y, dentro de 3 años, sus edades todavía sumarán menos de 25 años. ¿Cuántos años tiene cada uno?
🟠 Comprensión del enunciado
Las tres frases se refieren a momentos distintos. Es fundamental expresar todas las edades a partir de las edades actuales antes de plantear las desigualdades.
🔵 Conceptos matemáticos
- Problemas de edades.
- Sistema de inecuaciones con dos incógnitas.
- Restricciones enteras y búsqueda de una solución única.
🟢 Estrategia de resolución
Usaremos \(A\) y \(M\) para las edades actuales. Traduciremos la diferencia de edad, la situación de hace dos años y la suma dentro de tres años. Después acotaremos \(M\) en función de \(A\).
🟣 Resolución paso a paso
1. Elección de las incógnitas
Sean \(A\) y \(M\) las edades actuales de Ángel y Manuel, respectivamente.
2. Traducción de las condiciones
Cuando Ángel nació, Manuel tenía más de \(5\) años. La diferencia de edad no cambia:
\[
M-A \gt 5
\]
Hace dos años, Ángel tenía \(A-2\) años y Manuel \(M-2\) años:
\[
A-2 \gt \frac{M-2}{3}
\]
Dentro de tres años sus edades sumarán menos de \(25\):
\[
(A+3)+(M+3) \lt 25
\]
3. Acotación de las edades
Como las edades son enteras, de \(M-A \gt 5\) obtenemos:
\[
M \geq A+6
\]
De la segunda condición:
\[
3A-6 \gt M-2
\Longrightarrow
M \lt 3A-4
\]
De la tercera:
\[
A+M+6 \lt 25
\Longrightarrow
A+M \lt 19
\]
Al ser enteras:
\[
M \leq 18-A
\]
Por tanto, \(M\) debe cumplir simultáneamente:
\[
A+6 \leq M,\qquad M \lt 3A-4,\qquad M \leq 18-A
\]
4. Búsqueda de valores enteros
Para que \(A+6 \lt 3A-4\), debe ser \(A \gt 5\). Además, para que \(A+6 \leq 18-A\):
\[
2A \leq 12\Longrightarrow A \leq 6
\]
Las dos condiciones obligan a:
\[
A=6
\]
Entonces:
\[
12 \leq M,\qquad M \lt 14,\qquad M \leq 12
\]
Por tanto, \(M=12\).
5. Comprobación
\[
12-6=6 \gt 5
\]
\[
6-2=4 \gt \frac{12-2}{3}=\frac{10}{3}
\]
\[
(6+3)+(12+3)=9+15=24 \lt 25
\]
Respuesta:
\[
\boxed{\text{Ángel tiene }6\text{ años y Manuel }12\text{ años}.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- En un problema de edades, el paso del tiempo se suma o resta a todas las edades por igual.
- Una diferencia de edades permanece constante.
- Las restricciones enteras permiten convertir desigualdades estrictas en cotas útiles, por ejemplo \(M-A \gt 5\Rightarrow M \geq A+6\).