Entradas para el teatro
Matemáticas 1 · 1º Bachillerato
Ficha del problema
Enunciado
Juan va al teatro con todos sus hermanos y dispone de 22 € para las entradas. Si compra entradas de 3 € le sobra dinero, pero para comprar entradas de 3,5 € le faltaría dinero. ¿Cuántos hermanos son contando a Juan?
🟠 Comprensión del enunciado
El mismo número de entradas debe cumplir dos condiciones: con un precio de 3 € el coste es menor que 22 €, mientras que con un precio de 3,5 € el coste es mayor que 22 €.
🔵 Conceptos matemáticos
- Sistema de dos inecuaciones lineales.
- Intersección de intervalos.
- Soluciones enteras en un problema de recuento.
🟢 Estrategia de resolución
Llamaremos \(n\) al número total de asistentes, incluido Juan. Plantearemos una desigualdad para cada precio y buscaremos el único número entero que pertenece a la intersección.
🟣 Resolución paso a paso
1. Elección de la incógnita
Sea \(n\) el número total de personas que van al teatro, contando a Juan.
2. Traducción de las condiciones
Si cada entrada cuesta \(3\) €, le sobra dinero:
\[
3n \lt 22
\]
Si cada entrada cuesta \(3{,}5\) €, le falta dinero:
\[
3{,}5n \gt 22
\]
3. Resolución del sistema
\[
n \lt \frac{22}{3}\approx7{,}33
\]
\[
n \gt \frac{22}{3{,}5}=\frac{44}{7}\approx6{,}29
\]
Por tanto:
\[
\frac{44}{7} \lt n \lt \frac{22}{3}
\]
4. Interpretación
Como \(n\) debe ser un número entero, el único valor posible es:
\[
n=7
\]
Comprobamos ambas condiciones:
\[
3\cdot7=21 \lt 22,\qquad
3{,}5\cdot7=24{,}5 \gt 22
\]
Respuesta:
\[
\boxed{\text{Van }7\text{ personas en total: Juan y }6\text{ hermanos}.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- «Le sobra dinero» se traduce con coste \( \lt \) presupuesto.
- «Le falta dinero» se traduce con coste \( \gt \) presupuesto.
- En un recuento de personas solo tienen sentido las soluciones enteras.