Máxima puntuación con bolas blancas y negras
Matemáticas 1 · 1º Bachillerato
Ficha del problema
Enunciado
De una caja que contiene bolas blancas y negras debemos coger más de 3 y menos de 9 bolas en total. Por cada bola blanca obtenemos 3 puntos y por cada bola negra perdemos 2 puntos. Si más de la tercera parte de las bolas elegidas deben ser negras, ¿cuántas bolas de cada color debemos coger para obtener la máxima puntuación?
🟠 Comprensión del enunciado
Debemos buscar cantidades enteras de bolas que cumplan dos restricciones y maximicen una puntuación. La condición «más de la tercera parte» debe referirse al total de bolas escogidas.
🔵 Conceptos matemáticos
- Sistema de inecuaciones con dos variables.
- Variables enteras no negativas.
- Función objetivo y optimización discreta.
🟢 Estrategia de resolución
Llamaremos \(b\) a las bolas blancas y \(n\) a las negras. Traduciremos las restricciones, expresaremos la puntuación y revisaremos los pocos valores enteros posibles.
🟣 Resolución paso a paso
1. Variables y puntuación
Sean:
\[
b=\text{número de bolas blancas},\qquad
n=\text{número de bolas negras}
\]
La puntuación obtenida es:
\[
P=3b-2n
\]
2. Restricciones
Se cogen más de \(3\) y menos de \(9\) bolas:
\[
3 \lt b+n \lt 9
\]
Más de la tercera parte deben ser negras:
\[
n \gt \frac{b+n}{3}
\]
Multiplicamos por \(3\) y simplificamos:
\[
3n \gt b+n
\Longrightarrow
2n \gt b
\]
Además:
\[
b,n\in\mathbb Z_{ \geq 0}
\]
3. Búsqueda de la máxima puntuación
Para un número fijo de bolas negras, la puntuación aumenta al añadir bolas blancas. Por tanto, probamos el mayor \(b\) permitido por:
\[
b+n \leq 8,\qquad b \lt 2n
\]
Los casos relevantes son:
\[
\begin{array}{c|c|c|c}
n&b_{\max}&b+n&P=3b-2n\\ \hline
2&3&5&5\\
3&5&8&9\\
4&4&8&4\\
5&3&8&-1\\
6&2&8&-6\\
7&1&8&-11\\
8&0&8&-16
\end{array}
\]
Con \(n=1\), la condición \(b \lt 2n\) impide alcanzar más de \(3\) bolas en total, así que no hay ningún caso admisible.
4. Interpretación y comprobación
La puntuación máxima es \(9\), obtenida con \(b=5\) y \(n=3\).
Comprobamos las restricciones:
\[
5+3=8,\qquad 3 \lt 8 \lt 9
\]
\[
3 \gt \frac{8}{3}
\]
\[
P=3\cdot5-2\cdot3=15-6=9
\]
Respuesta:
\[
\boxed{\text{Debe coger }5\text{ bolas blancas y }3\text{ negras}.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- En una optimización discreta hay que respetar que las variables sean enteras.
- La condición \(n \gt \frac{b+n}{3}\) se simplifica a \(2n \gt b\).
- Cuando el número de posibilidades es pequeño, una tabla ordenada permite justificar el máximo sin omitir casos.