Resuelve: \(\begin{cases}-3x+y-z=-4\\5x-2y+z=6\\-x+y+3z=0\end{cases}\)

Resolución paso a paso

1. Escribimos la matriz ampliada.

\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
-3&1&-1&-4\\
5&-2&1&6\\
-1&1&3&0
\end{array}
\right)
\]

2. Elegimos un pivote sencillo en la primera columna.

Intercambiamos la primera y la tercera fila y cambiamos el signo de la nueva primera fila:

\[
F_1\leftrightarrow F_3,\qquad F_1\longrightarrow -F_1
\]

\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&-1&-3&0\\
5&-2&1&6\\
-3&1&-1&-4
\end{array}
\right)
\]

3. Anulamos los elementos situados debajo del primer pivote.

\[
F_2\longrightarrow F_2-5F_1,\qquad
F_3\longrightarrow F_3+3F_1
\]

\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&-1&-3&0\\
0&3&16&6\\
0&-2&-10&-4
\end{array}
\right)
\]

4. Anulamos el término de la segunda columna de la tercera fila.

Para no introducir fracciones, hacemos sucesivamente:

\[
F_3\longrightarrow 3F_3,\qquad
F_3\longrightarrow F_3+2F_2
\]

\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&-1&-3&0\\
0&3&16&6\\
0&0&2&0
\end{array}
\right)
\]

5. Resolvemos el sistema escalonado mediante sustitución regresiva.

De la tercera fila:

\[
2z=0\Longrightarrow z=0
\]

De la segunda fila:

\[
3y+16z=6\Longrightarrow 3y=6\Longrightarrow y=2
\]

De la primera fila:

\[
x-y-3z=0\Longrightarrow x-2=0\Longrightarrow x=2
\]

Solución:

\[
\boxed{(x,y,z)=(2,2,0)}
\]