Resuelve: \(\begin{cases}5x-y+3z=-6\\x+3y-z=10\\2x-y+4z=-2\end{cases}\)

Resolución paso a paso

1. Escribimos la matriz ampliada.

\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
5&-1&3&-6\\
1&3&-1&10\\
2&-1&4&-2
\end{array}
\right)
\]

2. Situamos el coeficiente \(1\) en la posición del primer pivote.

\[
F_1\leftrightarrow F_2
\]

\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&3&-1&10\\
5&-1&3&-6\\
2&-1&4&-2
\end{array}
\right)
\]

3. Anulamos los elementos situados debajo del primer pivote.

\[
F_2\longrightarrow F_2-5F_1,\qquad
F_3\longrightarrow F_3-2F_1
\]

\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&3&-1&10\\
0&-16&8&-56\\
0&-7&6&-22
\end{array}
\right)
\]

Simplificamos la segunda fila dividiéndola entre \(-8\):

\[
F_2\longrightarrow -\frac18F_2
\]

\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&3&-1&10\\
0&2&-1&7\\
0&-7&6&-22
\end{array}
\right)
\]

4. Anulamos el término de la segunda columna de la tercera fila.

Hacemos sucesivamente:

\[
F_3\longrightarrow 2F_3,\qquad
F_3\longrightarrow F_3+7F_2
\]

\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&3&-1&10\\
0&2&-1&7\\
0&0&5&5
\end{array}
\right)
\]

5. Aplicamos sustitución regresiva.

De la tercera fila:

\[
5z=5\Longrightarrow z=1
\]

De la segunda fila:

\[
2y-z=7\Longrightarrow 2y-1=7\Longrightarrow y=4
\]

De la primera fila:

\[
x+3y-z=10\Longrightarrow x+12-1=10\Longrightarrow x=-1
\]

Solución:

\[
\boxed{(x,y,z)=(-1,4,1)}
\]