Resuelve: \(\begin{cases}4x+y-2z=-3\\3x-y+4z=-2\\-x+y+z=5\end{cases}\)

Resolución paso a paso

1. Escribimos la matriz ampliada.

\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
4&1&-2&-3\\
3&-1&4&-2\\
-1&1&1&5
\end{array}
\right)
\]

2. Colocamos un \(1\) como primer pivote.

Intercambiamos la primera y la tercera fila y cambiamos el signo de la nueva primera fila:

\[
F_1\leftrightarrow F_3,\qquad F_1\longrightarrow -F_1
\]

\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&-1&-1&-5\\
3&-1&4&-2\\
4&1&-2&-3
\end{array}
\right)
\]

3. Anulamos los términos situados debajo del primer pivote.

\[
F_2\longrightarrow F_2-3F_1,\qquad
F_3\longrightarrow F_3-4F_1
\]

\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&-1&-1&-5\\
0&2&7&13\\
0&5&2&17
\end{array}
\right)
\]

4. Anulamos el término de la segunda columna de la tercera fila.

Para trabajar con números enteros, hacemos sucesivamente:

\[
F_3\longrightarrow 2F_3,\qquad
F_3\longrightarrow F_3-5F_2
\]

\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&-1&-1&-5\\
0&2&7&13\\
0&0&-31&-31
\end{array}
\right)
\]

5. Aplicamos sustitución regresiva.

De la tercera fila:

\[
-31z=-31\Longrightarrow z=1
\]

De la segunda fila:

\[
2y+7z=13\Longrightarrow 2y+7=13\Longrightarrow y=3
\]

De la primera fila:

\[
x-y-z=-5\Longrightarrow x-3-1=-5\Longrightarrow x=-1
\]

Solución:

\[
\boxed{(x,y,z)=(-1,3,1)}
\]