Resuelve: \(\begin{cases}x-y=2\\-x+2y+3z=-1\\x+y+6z=4\end{cases}\)

Resolución paso a paso

1. Escribimos la matriz ampliada.

\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&-1&0&2\\
-1&2&3&-1\\
1&1&6&4
\end{array}
\right)
\]

2. Anulamos los elementos situados debajo del primer pivote.

\[
F_2\longrightarrow F_2+F_1,\qquad
F_3\longrightarrow F_3-F_1
\]

\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&-1&0&2\\
0&1&3&1\\
0&2&6&2
\end{array}
\right)
\]

3. Anulamos el término de la segunda columna de la tercera fila.

\[
F_3\longrightarrow F_3-2F_2
\]

\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&-1&0&2\\
0&1&3&1\\
0&0&0&0
\end{array}
\right)
\]

La tercera fila es una identidad. Por tanto, el sistema tiene dos ecuaciones independientes y una incógnita libre: es compatible indeterminado.

4. Expresamos las soluciones mediante un parámetro.

Tomamos:

\[
z=\lambda,\qquad \lambda\in\mathbb{R}
\]

De la segunda fila:

\[
y+3z=1\Longrightarrow y+3\lambda=1
\Longrightarrow y=1-3\lambda
\]

De la primera fila:

\[
x-y=2\Longrightarrow x=2+y
=2+1-3\lambda=3-3\lambda
\]

Solución:

\[
\boxed{(x,y,z)=(3-3\lambda,\,1-3\lambda,\,\lambda),
\qquad \lambda\in\mathbb{R}}
\]