Descompón en fracciones simples: \(\frac{x^2+2x-1}{2x^3+3x^2-2x}\)

Resolución paso a paso

Factorizamos el denominador:

\[
2x^3+3x^2-2x=x(2x^2+3x-2)=x(2x-1)(x+2).
\]

Planteamos:

\[
\frac{x^2+2x-1}{x(2x-1)(x+2)}
=\frac{A}{x}+\frac{B}{2x-1}+\frac{C}{x+2}.
\]

Multiplicamos por \(x(2x-1)(x+2)\):

\[
x^2+2x-1=A(2x-1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(2x-1).
\]

Elegimos las raíces de los factores:

• \(x=0\): \(-1=-2A\), luego \(A=\frac12\).
• \(x=\frac12\): \(\frac14=\frac54B\), luego \(B=\frac15\).
• \(x=-2\): \(-1=10C\), luego \(C=-\frac1{10}\).

Resultado:

\[
\boxed{\frac{1}{2x}+\frac{1}{5(2x-1)}-\frac{1}{10(x+2)}}
\]