Descompón en fracciones simples: \(\frac{5x^2-36x+48}{x^3-8x^2+16x}\)

Resolución paso a paso

Factorizamos el denominador:

\[
x^3-8x^2+16x=x(x^2-8x+16)=x(x-4)^2.
\]

Planteamos:

\[
\frac{5x^2-36x+48}{x(x-4)^2}
=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-4}+\frac{C}{(x-4)^2}.
\]

Multiplicamos por \(x(x-4)^2\):

\[
5x^2-36x+48=A(x-4)^2+Bx(x-4)+Cx.
\]

Si \(x=0\), \(48=16A\), luego \(A=3\). Si \(x=4\), \(-16=4C\), luego \(C=-4\).

Comparando los coeficientes de \(x^2\):

\[
5=A+B=3+B\quad\Longrightarrow\quad B=2.
\]

Resultado:

\[
\boxed{\frac3x+\frac2{x-4}-\frac4{(x-4)^2}}
\]