E1 – Discusión de un sistema con parámetro
Castilla y León · 2018 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Se considera el sistema de ecuaciones lineales:
\[
\begin{cases}
\lambda x+z=1,\\
x+y+\lambda z=1,\\
x-y+z=1.
\end{cases}
\]
- Discuta el sistema según los valores del parámetro \(\lambda\). (1,2 puntos)
- Resuélvalo para \(\lambda=1\). (0,8 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
El parámetro puede modificar el rango de la matriz de coeficientes. Primero localizaremos los valores que anulan su determinante y después estudiaremos cada caso singular.
🔵 Conceptos matemáticos
- Determinante de una matriz dependiente de un parámetro.
- Teorema de Rouché-Frobenius.
- Sistemas compatibles determinados, indeterminados e incompatibles.
- Reducción de Gauss.
🟢 Estrategia de resolución
Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes. Para los valores singulares comparamos los rangos mediante operaciones elementales y, finalmente, resolvemos por Gauss el caso pedido.
🟣 Resolución paso a paso
a) Discusión del sistema
La matriz de coeficientes y la matriz ampliada son:
\[
A=\begin{pmatrix}
\lambda&0&1\\
1&1&\lambda\\
1&-1&1
\end{pmatrix},
\qquad
A^*=\left(
\begin{array}{ccc|c}
\lambda&0&1&1\\
1&1&\lambda&1\\
1&-1&1&1
\end{array}
\right).
\]
Calculamos el determinante:
\[
|A|=
\begin{vmatrix}
\lambda&0&1\\
1&1&\lambda\\
1&-1&1
\end{vmatrix}
=\lambda^2+\lambda-2
=(\lambda-1)(\lambda+2).
\]
Si \(\lambda\neq1\) y \(\lambda\neq-2\), entonces \(|A|\neq0\). Por tanto,
\[
\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=3,
\]
y el sistema es compatible determinado.
Caso \(\lambda=1\)
\[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&0&1&1\\
1&1&1&1\\
1&-1&1&1
\end{array}
\right)
\xrightarrow{\substack{F_2\leftarrow F_2-F_1\\F_3\leftarrow F_3-F_1}}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&0&1&1\\
0&1&0&0\\
0&-1&0&0
\end{array}
\right)
\xrightarrow{F_3\leftarrow F_3+F_2}
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1&0&1&1\\
0&1&0&0\\
0&0&0&0
\end{array}
\right).
\]
Se obtiene \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^*)=2\lt3\). El sistema es compatible indeterminado.
Caso \(\lambda=-2\)
Las ecuaciones primera, segunda y tercera permiten escribir:
\[
-2x+z=1,
\qquad
(x+y-2z)+(x-y+z)=2x-z=2.
\]
Sin embargo, al multiplicar la primera ecuación por \(-1\) resulta \(2x-z=-1\). Aparece una contradicción:
\[
2x-z=2,
\qquad
2x-z=-1.
\]
Por tanto, \(\operatorname{rg}(A)=2\) y \(\operatorname{rg}(A^*)=3\): el sistema es incompatible.
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
\lambda\neq1,-2:&\text{sistema compatible determinado},\\
\lambda=1:&\text{sistema compatible indeterminado},\\
\lambda=-2:&\text{sistema incompatible}.
\end{array}}
\]
b) Resolución para \(\lambda=1\)
La forma escalonada obtenida equivale a:
\[
\begin{cases}
x+z=1,\\
y=0.
\end{cases}
\]
Tomamos \(z=t\), con \(t\in\mathbb R\). Entonces:
\[
x=1-t,\qquad y=0,\qquad z=t.
\]
\[
\boxed{(x,y,z)=(1-t,0,t),\quad t\in\mathbb R.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Si el determinante no se anula, el sistema tiene solución única.
- Los valores que anulan el determinante deben estudiarse por separado.
- Una fila nula produce un parámetro libre; una contradicción hace incompatible el sistema.