E3 – Monotonía, extremos y número de raíces
Castilla y León · 2018 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dada la función
\[
f(x)=3x^4+x^3-1,
\]
determine sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos relativos y el número total de puntos en los que \(f(x)\) se anula. (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
La derivada proporciona la monotonía y los extremos. Después combinaremos esa información con el teorema de Bolzano para contar las raíces sin necesidad de calcularlas exactamente.
🔵 Conceptos matemáticos
- Derivada de un polinomio.
- Tabla de signos de la derivada.
- Extremos relativos.
- Teorema de Bolzano y unicidad por monotonía.
🟢 Estrategia de resolución
Factorizamos \(f'(x)\), construimos la tabla de signos y localizamos el extremo. Para contar las raíces buscamos cambios de signo a cada lado del mínimo.
🟣 Resolución paso a paso
La función es continua y derivable en todo \(\mathbb R\). Calculamos la derivada:
\[
f'(x)=12x^3+3x^2=3x^2(4x+1).
\]
Los puntos críticos son:
\[
f'(x)=0
\quad\Longrightarrow\quad
x=-\frac14
\quad\text{o}\quad
x=0.
\]
Como \(3x^2\geq0\), el signo de la derivada, salvo en \(x=0\), viene determinado por \(4x+1\):
\[
\begin{array}{c|ccccc}
x&(-\infty,-\frac14)&-\frac14&(-\frac14,0)&0&(0,+\infty)\\ \hline
f'(x)&-&0&+&0&+
\end{array}
\]
Por tanto:
- \(f\) decrece en \((-\infty,-\frac14)\).
- \(f\) crece en \((-\frac14,+\infty)\).
En \(x=-\frac14\) la derivada cambia de negativa a positiva, luego hay un mínimo relativo:
\[
f\left(-\frac14\right)
=3\left(\frac1{256}\right)-\frac1{64}-1
=-\frac{257}{256}.
\]
\[
\boxed{\text{Mínimo relativo en }\left(-\frac14,-\frac{257}{256}\right).}
\]
En \(x=0\) la derivada se anula, pero no cambia de signo; no hay extremo relativo.
Número de raíces
A la izquierda del mínimo:
\[
f(-1)=3-1-1=1\gt0,
\qquad
f\left(-\frac14\right)=-\frac{257}{256}\lt0.
\]
Por Bolzano existe una raíz en \((-1,-\frac14)\). Como \(f\) es estrictamente decreciente en ese intervalo, la raíz es única.
A la derecha del mínimo:
\[
f\left(-\frac14\right)\lt0,
\qquad
f(1)=3\gt0.
\]
Existe una raíz en \((-\frac14,1)\), y es única porque \(f\) es estrictamente creciente en \((-\frac14,+\infty)\).
\[
\boxed{\text{La función se anula exactamente en dos puntos.}}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Un punto crítico no siempre es un extremo: debe cambiar el signo de la derivada.
- Bolzano garantiza existencia de raíces cuando hay cambio de signo.
- La monotonía permite demostrar que una raíz es única en un intervalo.