E4 – Área bajo una función mediante integración por partes
Castilla y León · 2018 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de
\[
f(x)=x\cos x
\]
y el eje \(x\), cuando \(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\). (2 puntos)
🟠 Comprensión del enunciado
En el intervalo dado la función es no negativa, de modo que el área coincide con su integral definida. La primitiva requiere integración por partes.
🔵 Conceptos matemáticos
- Área bajo una curva.
- Integración por partes.
- Regla de Barrow.
- Signo de una función trigonométrica.
🟢 Estrategia de resolución
Comprobamos el signo de \(x\cos x\), calculamos la primitiva completa por partes y aplicamos después la regla de Barrow.
🟣 Resolución paso a paso
En \([0,\frac{\pi}{2}]\) se cumple \(x\geq0\) y \(\cos x\geq0\). Por tanto, \(f(x)\geq0\) y el área es:
\[
A=\int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx.
\]
Cálculo de la primitiva por partes
Aplicamos:
\[
\int u\,dv=uv-\int v\,du.
\]
Elegimos:
\[
u=x,\qquad dv=\cos x\,dx.
\]
Entonces:
\[
du=dx,\qquad v=\int\cos x\,dx=\sin x.
\]
Sustituimos en la fórmula:
\[
\int x\cos x\,dx
=x\sin x-\int\sin x\,dx
=x\sin x+\cos x+C.
\]
Aplicación de la regla de Barrow
\[
A=\left[x\sin x+\cos x\right]_0^{\pi/2}.
\]
\[
A=
\left(\frac{\pi}{2}\cdot1+0\right)
-\left(0\cdot0+1\right)
=\frac{\pi}{2}-1.
\]
\[
\boxed{A=\frac{\pi}{2}-1\ \text{u}^2\approx0{,}571\ \text{u}^2.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Antes de integrar un área hay que comprobar qué función queda por encima.
- En integración por partes deben identificarse \(u\), \(dv\), \(du\) y \(v\).
- La regla de Barrow se aplica después de obtener la primitiva.