E5 – Monedas y cartas sin reemplazamiento
Castilla y León · 2018 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Se tira una moneda tres veces. Calcule la probabilidad de que, sin tener en cuenta el orden, salgan una cara y dos cruces. (1 punto)
- Una persona elige al azar, sin verlas, dos cartas de una baraja española de 40 cartas, diez de cada palo. Calcule la probabilidad de que ninguna de las dos cartas sea de copas. (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
En el primer apartado hay tres posiciones posibles para la única cara. En el segundo, las extracciones son sin reemplazamiento y la probabilidad de la segunda carta depende de la primera.
🔵 Conceptos matemáticos
- Regla de Laplace.
- Experimentos independientes.
- Extracciones sin reemplazamiento.
- Probabilidad condicionada y regla del producto.
🟢 Estrategia de resolución
Contamos las secuencias favorables de los tres lanzamientos. Para las cartas multiplicamos la probabilidad de que la primera no sea copa por la probabilidad condicionada de que la segunda tampoco lo sea.
🟣 Resolución paso a paso
a) Una cara y dos cruces
Hay \(2^3=8\) resultados equiprobables. Si \(C\) representa cara y \(X\) cruz, los casos favorables son:
\[
\{CXX,\;XCX,\;XXC\}.
\]
Por tanto:
\[
P(\text{una cara y dos cruces})
=\frac{3}{8}.
\]
\[
\boxed{P=\frac38=0{,}375.}
\]
b) Ninguna carta de copas
Hay \(30\) cartas que no son de copas. La probabilidad de que la primera no sea copa es \(30/40\). Si esto ha ocurrido, quedan \(29\) cartas no pertenecientes a copas entre \(39\) cartas:
\[
P(\text{ninguna copa})
=\frac{30}{40}\cdot\frac{29}{39}
=\frac{29}{52}.
\]
\[
\boxed{P=\frac{29}{52}\approx0{,}5577.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- En varios lanzamientos hay que contar también las distintas posiciones de cada resultado.
- Sin reemplazamiento cambian tanto los casos favorables como los posibles.
- La probabilidad de una intersección se calcula con la regla del producto.