B4 – Límite exponencial y área con valor absoluto
Castilla y León · 2018 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Calcule
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{3e^x-\sin x}{e^x+x}.
\]
(1 punto) - Encuentre el área del recinto limitado por
\[
f(x)=|x|-1,
\qquad
g(x)=1-x^2.
\]
(1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
En el límite domina el término exponencial. Para el área hay que tratar el valor absoluto por tramos y localizar los puntos de corte.
🔵 Conceptos matemáticos
- Comparación de órdenes de crecimiento.
- Función valor absoluto por tramos.
- Intersección de curvas.
- Área entre funciones.
🟢 Estrategia de resolución
Dividimos el límite entre \(e^x\). En el área resolvemos las intersecciones en cada semieje, usamos la simetría y calculamos la primitiva antes de aplicar Barrow.
🟣 Resolución paso a paso
a) Cálculo del límite
Dividimos numerador y denominador entre \(e^x\):
\[
\frac{3e^x-\sin x}{e^x+x}
=
\frac{3-\frac{\sin x}{e^x}}{1+\frac{x}{e^x}}.
\]
Como
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{e^x}=0,
\qquad
\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{e^x}=0,
\]
obtenemos:
\[
\boxed{
\lim_{x\to+\infty}\frac{3e^x-\sin x}{e^x+x}=3.}
\]
b) Área entre las curvas
Escribimos:
\[
|x|-1=
\begin{cases}
-x-1,&x\lt0,\\
x-1,&x\geq0.
\end{cases}
\]
Para \(x\geq0\):
\[
x-1=1-x^2
\quad\Longrightarrow\quad
x^2+x-2=0
\quad\Longrightarrow\quad
x=1.
\]
Para \(x\lt0\):
\[
-x-1=1-x^2
\quad\Longrightarrow\quad
x^2-x-2=0
\quad\Longrightarrow\quad
x=-1.
\]
El recinto está entre \(x=-1\) y \(x=1\). Por simetría:
\[
A=2\int_0^1\left[(1-x^2)-(x-1)\right]dx
=2\int_0^1(2-x-x^2)\,dx.
\]
Calculamos la primitiva:
\[
\int(2-x-x^2)\,dx
=2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+C.
\]
Aplicamos Barrow:
\[
A=2\left[
2x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}
\right]_0^1.
\]
\[
A=2\left(2-\frac12-\frac13\right)
=2\cdot\frac76
=\frac73.
\]
\[
\boxed{A=\frac73\ \text{u}^2.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Dividir entre el término dominante simplifica límites con exponenciales.
- El valor absoluto debe separarse según el signo de \(x\).
- El área se calcula como función superior menos función inferior.