B3 – Mínimo relativo y límite logarítmico
Castilla y León · 2017 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Dado el polinomio
\[
P(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x+C,
\]
halle \(C\) para que el valor de \(P(x)\) en su mínimo relativo sea \(1\). - Calcule \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln x\).
Puntuación máxima: 2 puntos.
🟠 Comprensión del enunciado
Primero debemos localizar cuál de los puntos críticos es un mínimo. En el límite, el producto presenta la indeterminación \(0\cdot(-\infty)\) y se transforma en un cociente.
🔵 Conceptos matemáticos
- Puntos críticos y signo de la derivada.
- Máximos y mínimos relativos.
- Indeterminaciones.
- Regla de L’Hôpital.
🟢 Estrategia de resolución
Derivamos \(P\), clasificamos los puntos críticos y usamos la condición \(P(x_{\min})=1\). Para el límite escribimos \(x\ln x=\ln x/(1/x)\) y aplicamos L’Hôpital.
🟣 Resolución paso a paso
a) Valor de \(C\)
Derivamos el polinomio:
\[
P'(x)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2).
\]
Los puntos críticos son \(x=1\) y \(x=2\). Estudiamos el signo:
\[
\begin{array}{c|ccccc}
x&(-\infty,1)&1&(1,2)&2&(2,+\infty)\\ \hline
P'(x)&+&0&-&0&+
\end{array}
\]
En \(x=1\) la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un máximo relativo. En \(x=2\) pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un mínimo relativo.
Imponemos que el valor en ese mínimo sea \(1\):
\[
\begin{aligned}
P(2)
&=\frac{2^3}{3}-\frac{3\cdot2^2}{2}+2\cdot2+C\\
&=\frac83-6+4+C
=\frac23+C.
\end{aligned}
\]
\[
\frac23+C=1
\quad\Longrightarrow\quad
\boxed{C=\frac13.}
\]
b) Límite \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln x\)
La expresión presenta la indeterminación \(0\cdot(-\infty)\). La transformamos:
\[
x\ln x=\frac{\ln x}{1/x}.
\]
Ahora aparece la indeterminación \((-\infty)/(+\infty)\), por lo que aplicamos L’Hôpital:
\[
\begin{aligned}
\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{1/x}
&=\lim_{x\to0^+}
\frac{1/x}{-1/x^2}\\
&=\lim_{x\to0^+}(-x)=0.
\end{aligned}
\]
\[
\boxed{\lim_{x\to0^+}x\ln x=0.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- No todo punto crítico es un mínimo: hay que estudiar el signo de la derivada.
- El parámetro \(C\) desplaza verticalmente el polinomio, pero no cambia sus puntos críticos.
- Antes de aplicar L’Hôpital a un producto indeterminado hay que convertirlo en cociente.