B4 – Continuidad de una función a trozos y área
Castilla y León · 2017 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Sea la función
\[
f(x)=
\begin{cases}
(x-1)^2,&x\leq1,\\
a+\ln x,&x\gt1.
\end{cases}
\]
- Encuentre \(a\) para que la función sea continua.
- Halle el área de la región delimitada por la gráfica de \(f(x)\) y las rectas \(x=1\) e \(y=1\).
Puntuación máxima: 2 puntos.
🟠 Comprensión del enunciado
El único posible problema de continuidad está en \(x=1\). La región solicitada queda entre \(y=1\), la rama parabólica y la recta \(x=1\).
🔵 Conceptos matemáticos
- Continuidad lateral de una función a trozos.
- Valor de una función en el punto de unión.
- Puntos de corte.
- Área mediante integral definida.
🟢 Estrategia de resolución
Igualamos el valor y los límites laterales en \(x=1\). Después calculamos el corte de \(y=(x-1)^2\) con \(y=1\) a la izquierda de \(x=1\) y aplicamos Barrow.
🟣 Resolución paso a paso
a) Continuidad
Cada expresión es continua en su intervalo. Solo debemos estudiar \(x=1\).
\[
f(1)=(1-1)^2=0.
\]
El límite por la izquierda es:
\[
\lim_{x\to1^-}f(x)
=\lim_{x\to1^-}(x-1)^2=0.
\]
El límite por la derecha es:
\[
\lim_{x\to1^+}f(x)
=\lim_{x\to1^+}(a+\ln x)
=a+\ln1=a.
\]
Para que haya continuidad:
\[
0=a
\quad\Longrightarrow\quad
\boxed{a=0.}
\]
b) Área delimitada
La rama situada a la izquierda de \(x=1\) es \(y=(x-1)^2\). Buscamos su corte con \(y=1\):
\[
(x-1)^2=1
\quad\Longrightarrow\quad
x-1=\pm1
\quad\Longrightarrow\quad
x=0\text{ o }x=2.
\]
En la rama \(x\leq1\) corresponde \(x=0\). En \([0,1]\), la recta \(y=1\) está por encima de la parábola.
Calculamos primero una primitiva:
\[
\begin{aligned}
\int\left[1-(x-1)^2\right]dx
&=\int(2x-x^2)\,dx\\
&=x^2-\frac{x^3}{3}+C.
\end{aligned}
\]
Aplicamos Barrow:
\[
\begin{aligned}
A
&=\int_0^1\left[1-(x-1)^2\right]dx\\
&=\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]_0^1\\
&=1-\frac13=\frac23.
\end{aligned}
\]
\[
\boxed{A=\frac23\ \text{unidades}^2.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- En una función a trozos solo hay que revisar los puntos donde cambia la definición.
- La continuidad exige que valor y límites laterales coincidan.
- El área entre dos curvas se calcula integrando función superior menos función inferior.