B5 – Tres caras en tres lanzamientos
Castilla y León · 2017 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
La probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es \(1/2\). ¿Cuál es la probabilidad de sacar \(3\) caras en tres lanzamientos?
Puntuación máxima: 2 puntos.
🟠 Comprensión del enunciado
Los tres lanzamientos son independientes y se pide que todos ellos produzcan cara.
🔵 Conceptos matemáticos
- Experimentos independientes.
- Regla del producto.
- Distribución binomial.
- Probabilidad de un resultado concreto.
🟢 Estrategia de resolución
Podemos multiplicar las probabilidades de cara en los tres lanzamientos o utilizar la fórmula binomial con \(n=3\), \(p=1/2\) y \(k=3\).
🟣 Resolución paso a paso
Cálculo de la probabilidad
Sea \(X\) el número de caras obtenidas en tres lanzamientos. Entonces:
\[
X\sim B\left(3,\frac12\right).
\]
La probabilidad de obtener exactamente tres caras es:
\[
\begin{aligned}
P(X=3)
&=\binom33\left(\frac12\right)^3
\left(1-\frac12\right)^{3-3}\\
&=1\cdot\frac18\cdot1
=\frac18.
\end{aligned}
\]
Equivalentemente, como los lanzamientos son independientes:
\[
P(\text{CCC})=\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac18.
\]
\[
\boxed{P(\text{tres caras})=\frac18=0{,}125.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Los lanzamientos de una moneda se modelan como ensayos independientes.
- Obtener tres caras en tres lanzamientos corresponde a una única secuencia: CCC.
- La fórmula binomial incluye el número de posiciones posibles mediante el coeficiente combinatorio.