Determinantes
Qué son los determinantes, para qué sirven y cómo calcularlos paso a paso.
Este tema es fundamental para entender matrices inversas, rango y resolución de sistemas en la PAU.
Qué es un determinante
Un determinante es un número que se asocia a una matriz cuadrada. Se calcula a partir de sus elementos y proporciona información muy importante sobre la matriz.
¿Para qué sirven los determinantes?
1. Saber si un sistema tiene solución única
Si el determinante de la matriz de un sistema es distinto de cero, el sistema tiene una única solución.
2. Calcular áreas y volúmenes
Los determinantes permiten calcular áreas (en 2D) y volúmenes (en 3D), lo que los conecta con la geometría.
Determinantes de orden 2
Si tenemos una matriz de orden 2:
\[ A= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \]
Su determinante se calcula como:
\[ |A| = ad - bc \]
Ejemplo:
\[ \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 4 \end{pmatrix} \]
\[ |A| = 2·4 - 3·1 = 8 - 3 = 5 \]
Determinantes de orden 3 (Regla de Sarrus)
Para matrices de orden 3 usamos la regla de Sarrus.
\[ A= \begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{pmatrix} \]
Se repiten las dos primeras columnas:
\[ \begin{matrix} a & b & c & a & b\\ d & e & f & d & e\\ g & h & i & g & h \end{matrix} \]
Se calcula:
\[ |A| = (aei + bfg + cdh) - (ceg + afh + bdi) \]
Ejemplo:
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 4\\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} \]
\[ |A| = (1·1·0 + 2·4·5 + 3·0·6) - (3·1·5 + 2·0·0 + 1·4·6) \]
\[ = (0 + 40 + 0) - (15 + 0 + 24) = 40 - 39 = 1 \]
Qué debes recordar
ad − bc
Regla de Sarrus
Si det ≠ 0 → sistema único
Olvidar restar diagonales
Resumen final
- Un determinante es un número asociado a una matriz cuadrada
- Sirve para estudiar sistemas y propiedades de matrices
- En orden 2: ad − bc
- En orden 3: regla de Sarrus
- Es clave en problemas de PAU