Matemáticas II · Álgebra · Tema 02

Operaciones con matrices

Aprende a sumar matrices, multiplicarlas por escalares, realizar productos matriciales y trabajar correctamente con la matriz traspuesta.

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Operaciones parecidas a las numéricas, pero con reglas propias

Antes de operar con matrices hay que comprobar sus dimensiones. La suma se realiza elemento a elemento, mientras que el producto utiliza filas de la primera matriz y columnas de la segunda.

1Comprobar compatibilidad de dimensiones

2Calcular productos fila por columna

3Utilizar propiedades y traspuestas

Operación elemento a elemento

Suma y resta de matrices

Dos matrices solo pueden sumarse o restarse cuando tienen exactamente el mismo orden.

\[ A=(a_{ij}),\quad B=(b_{ij}) \qquad\Longrightarrow\qquad A\pm B=(a_{ij}\pm b_{ij}) \]

Ejemplo 1 · Suma

Calcula \(A+B\)

\[ A= \begin{pmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 5&6\\ 7&8 \end{pmatrix} \]

\[ A+B= \begin{pmatrix} 1+5&2+6\\ 3+7&4+8 \end{pmatrix} = \boxed{ \begin{pmatrix} 6&8\\ 10&12 \end{pmatrix}} \]

! No pueden sumarse matrices de distinto orden. La coincidencia de dimensiones es una condición previa, no una propiedad que pueda corregirse durante el cálculo.

Multiplicación por un número

Producto de un escalar por una matriz

Multiplicar una matriz por un número real consiste en multiplicar todos sus elementos por ese número.

\[ kA=k(a_{ij})=(ka_{ij}) \]

Ejemplo 2 · Producto por un escalar

Calcula \(3A\)

\[ 3 \begin{pmatrix} 1&2\\ 0&4 \end{pmatrix} = \boxed{ \begin{pmatrix} 3&6\\ 0&12 \end{pmatrix}} \]

Fila por columna

Producto de matrices

El producto \(AB\) está definido cuando el número de columnas de \(A\) coincide con el número de filas de \(B\).

\[ A_{m\times n}B_{n\times p} \Longrightarrow AB_{m\times p} \]

1Comprueba dimensionesLos números interiores deben coincidir: \((m\times n)(n\times p)\).

2Calcula fila por columnaCada elemento del resultado es un producto escalar.

3Obtén el orden finalLos números exteriores determinan el orden \(m\times p\).

\[ c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} +\cdots+ a_{in}b_{nj} \]

Ejemplo 3 · Producto matricial

Calcula \(AB\)

\[ A= \begin{pmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 5&6\\ 7&8 \end{pmatrix} \]

\[ AB= \begin{pmatrix} 1\cdot5+2\cdot7 & 1\cdot6+2\cdot8\\ 3\cdot5+4\cdot7 & 3\cdot6+4\cdot8 \end{pmatrix} \]

\[ \boxed{ AB= \begin{pmatrix} 19&22\\ 43&50 \end{pmatrix}} \]

El orden importa

El producto no es conmutativo

Aunque \(AB\) y \(BA\) estén definidos, en general no producen la misma matriz.

\[ \boxed{\text{En general, }AB\neq BA} \]

Ejemplo 4 · Comparación de órdenes

Calcula \(BA\) con las matrices anteriores

\[ BA= \begin{pmatrix} 5&6\\ 7&8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{pmatrix} = \boxed{ \begin{pmatrix} 23&34\\ 31&46 \end{pmatrix}} \]

Por tanto, \(AB\neq BA\).

i Algunas matrices concretas sí conmutan. Por eso debe escribirse «en general». Además, puede ocurrir que \(AB\) esté definido y \(BA\) no.

Elemento neutro

Matriz identidad y potencias

Identidad

Para una matriz cuadrada \(A\) de orden \(n\):

\[ AI_n=I_nA=A \]

Potencias

Solo se definen de forma ordinaria para matrices cuadradas.

\[ A^2=AA,\qquad A^3=AAA \]

Intercambio de filas y columnas

Matriz traspuesta

La traspuesta de \(A\), representada por \(A^T\), se obtiene convirtiendo las filas de \(A\) en columnas.

Ejemplo 5 · Traspuesta

\[ A= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6 \end{pmatrix} \Longrightarrow A^T= \boxed{ \begin{pmatrix} 1&4\\ 2&5\\ 3&6 \end{pmatrix}} \]

Trasponer dos veces

\[ (A^T)^T=A \]

Traspuesta de una suma

\[ (A+B)^T=A^T+B^T \]

Traspuesta de un producto

\[ \boxed{(AB)^T=B^TA^T} \]

Resumen algebraico

Propiedades fundamentales

Operación	Propiedad
Suma	\(A+B=B+A\), \((A+B)+C=A+(B+C)\)
Escalares	\(k(A+B)=kA+kB\), \((k+\lambda)A=kA+\lambda A\)
Producto	\((AB)C=A(BC)\)
Distributividad	\(A(B+C)=AB+AC\), \((A+B)C=AC+BC\)
Identidad	\(AI=IA=A\)
No conmutatividad	En general, \(AB\neq BA\)

Ejercicio completo

Combinación de operaciones

Ejemplo 6 · Expresión matricial

Calcula \(2A-B+I_2\)

\[ A= \begin{pmatrix} 1&2\\ 0&-1 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 3&1\\ 2&0 \end{pmatrix} \]

\[ 2A= \begin{pmatrix} 2&4\\ 0&-2 \end{pmatrix} \]

\[ \begin{aligned} 2A-B+I_2 &= \begin{pmatrix} 2&4\\ 0&-2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3&1\\ 2&0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\\ &= \boxed{ \begin{pmatrix} 0&3\\ -2&-1 \end{pmatrix}} \end{aligned} \]

Biblioteca PAU

Practica con ejercicios publicados

Problema recomendado:

En la biblioteca está publicado un ejercicio oficial de Galicia 2025 que combina operaciones con matrices y matrices inversas.

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Qué debes recordar

Las dimensiones deciden qué operaciones pueden realizarse

En la suma deben coincidir todos los tamaños. En el producto deben coincidir las columnas de la primera matriz con las filas de la segunda.

SumaMismo orden y elemento a elemento.

EscalarMultiplica todos los elementos.

ProductoFila por columna.

TraspuestaIntercambia filas y columnas.

Errores frecuentes

Multiplicar elemento a elementoEl producto matricial se calcula siempre mediante fila por columna.

No comprobar dimensionesEl producto puede no estar definido o tener un orden distinto del esperado.

Cambiar el orden de los factoresEn general \(AB\neq BA\), y uno de los productos puede no existir.

Resumen del tema

La suma exige matrices del mismo orden. El producto por un escalar actúa sobre todos los elementos. El producto matricial se calcula fila por columna, no es conmutativo y depende de las dimensiones.

Debes saber

Sumar y restar matrices.
Multiplicar por escalares.
Comprobar compatibilidad.
Calcular \(AB\) y \(BA\).
Trabajar con traspuestas.