Fracciones algebraicas
Aprende a factorizar, determinar el dominio, simplificar y operar con fracciones algebraicas, y a descomponer fracciones racionales en fracciones simples.
Una fracción algebraica se comporta como una fracción numérica
Las reglas esenciales son las mismas: no se puede dividir entre cero, solo se simplifican factores y para sumar o restar necesitamos un denominador común. La diferencia es que ahora numerador y denominador son polinomios.
Qué es una fracción algebraica
Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios. El denominador debe ser distinto de cero.
Forma general
\(P(x)\) es el numerador y \(Q(x)\) es el denominador.
Condición fundamental
Los valores que anulan el denominador no pertenecen al dominio.
Fracción propia
El grado del numerador es menor que el del denominador.
Fracción impropia
El grado del numerador es mayor o igual que el del denominador.
Fracciones equivalentes
Representan la misma expresión en los valores donde ambas están definidas.
Factorización de polinomios
Antes de simplificar, sumar, restar o descomponer una fracción racional conviene factorizar completamente numeradores y denominadores.
| Método | Modelo | Ejemplo |
|---|---|---|
| Factor común | \(ax+ay=a(x+y)\) | \(3x^2-6x=3x(x-2)\) |
| Diferencia de cuadrados | \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) | \(x^2-9=(x-3)(x+3)\) |
| Trinomio cuadrado perfecto | \(a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2\) | \(x^2-6x+9=(x-3)^2\) |
| Trinomio de segundo grado | \(x^2+bx+c\) | \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\) |
| Ruffini | Si \(P(a)=0\), entonces \(x-a\) es factor | \(x^3-4x^2+x+6=(x-2)(x-3)(x+1)\) |
Factoriza \(x^3-3x^2-4x+12\)
Agrupamos términos:
x^3-3x^2-4x+12=x^2(x-3)-4(x-3)
\]
Sacamos el factor común \((x-3)\):
(x-3)(x^2-4)=(x-3)(x-2)(x+2)
\]
Dominio de una fracción algebraica
El dominio está formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador.
\(\dfrac{x+2}{x-3}\)
- Igualamos el denominador a cero.
- \(x-3=0\).
- Obtenemos \(x=3\).
\(\dfrac{2x}{x^2-9}\)
- Factorizamos \(x^2-9\).
- \((x-3)(x+3)=0\).
- Los valores excluidos son \(3\) y \(-3\).
\(\dfrac{x-1}{x^2+4}\)
- Resolvemos \(x^2+4=0\).
- Queda \(x^2=-4\).
- No hay soluciones reales.
Determina el dominio de \(\dfrac{x^2-4}{x^2-x-2}\)
Factorizamos el denominador:
x^2-x-2=(x-2)(x+1)
\]
Por tanto, los valores excluidos son \(x=2\) y \(x=-1\), aunque después pueda simplificarse algún factor.
D=\mathbb R\setminus\{-1,2\}
\]
Simplificación de fracciones algebraicas
Para simplificar, se factorizan numerador y denominador y se cancelan factores comunes. Nunca se cancelan términos que están sumando o restando.
\(\dfrac{x^2-9}{x^2-3x}\)
- Factorizamos \(x^2-9=(x-3)(x+3)\).
- Factorizamos \(x^2-3x=x(x-3)\).
- Cancelamos el factor común \((x-3)\).
- Mantenemos las restricciones \(x\neq0,3\).
\frac{x^2-9}{x^2-3x}
=
\frac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)}
=
\frac{x+3}{x},
\qquad x\neq0,3
\]
\(\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-4}\)
- \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\).
- \(x^2-4=(x-2)(x+2)\).
- Cancelamos \((x-2)\).
- Conservamos \(x\neq2,-2\).
\frac{x^2-5x+6}{x^2-4}
=
\frac{x-3}{x+2},
\qquad x\neq-2,2
\]
Simplificación correcta
Se cancela un factor completo.
Simplificación incorrecta
No se pueden cancelar términos dentro de una suma.
Operaciones con fracciones algebraicas
Las operaciones siguen las mismas reglas que las fracciones numéricas. Conviene factorizar antes y simplificar al final.
Producto
Multiplicamos numeradores entre sí y denominadores entre sí.
Cociente
Multiplicamos por la fracción inversa.
Suma
Buscamos un denominador común.
Resta
El signo menos afecta a todo el segundo numerador.
\(\dfrac{x^2-4}{x^2-x}\cdot\dfrac{x}{x+2}\)
- Factorizamos \(x^2-4=(x-2)(x+2)\).
- Factorizamos \(x^2-x=x(x-1)\).
- Cancelamos \(x\) y \((x+2)\).
\frac{x^2-4}{x^2-x}\cdot\frac{x}{x+2}
=
\frac{x-2}{x-1}
\]
\(\dfrac{x}{x-1}:\dfrac{x^2}{x+2}\)
- Invertimos la segunda fracción.
- Multiplicamos.
- Cancelamos un factor \(x\).
\frac{x}{x-1}\cdot\frac{x+2}{x^2}
=
\frac{x+2}{x(x-1)}
\]
\(\dfrac2x+\dfrac3{x+1}\)
- El denominador común es \(x(x+1)\).
- Multiplicamos cada numerador por el factor que falta.
- Sumamos y simplificamos.
\frac2x+\frac3{x+1}
=
\frac{2(x+1)+3x}{x(x+1)}
=
\frac{5x+2}{x(x+1)}
\]
Operaciones combinadas
En expresiones complejas hay que respetar la jerarquía de operaciones, simplificar por etapas y no perder las restricciones del dominio.
Simplifica \(\left(\dfrac1{x-1}+\dfrac1{x+1}\right)\cdot\dfrac{x^2-1}{2x}\)
1. Sumamos las fracciones del paréntesis:
\frac1{x-1}+\frac1{x+1}
=
\frac{x+1+x-1}{(x-1)(x+1)}
=
\frac{2x}{x^2-1}
\]
2. Multiplicamos por la segunda fracción:
\frac{2x}{x^2-1}\cdot\frac{x^2-1}{2x}=1
\]
3. Indicamos las restricciones:
x\neq-1,\quad x\neq0,\quad x\neq1
\]
Orden recomendado
- Determina las restricciones del dominio.
- Factoriza todos los polinomios posibles.
- Resuelve primero los paréntesis.
- Haz productos y cocientes.
- Realiza sumas y restas con denominador común.
- Simplifica el resultado final.
Resta de fracciones
Cuando restamos, el signo menos afecta a todo el segundo numerador.
\frac{2}{x}-\frac{x+1}{x-1}
=
\frac{2(x-1)-x(x+1)}{x(x-1)}
\]
No debe escribirse \(2(x-1)-x^2+1\), porque se ha cambiado mal el signo del segundo término.
Fracciones simples
Descomponer una fracción racional en fracciones simples consiste en escribirla como suma de fracciones más sencillas. Se utiliza cuando la fracción es propia y el denominador está factorizado.
Factores lineales distintos
\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)}
=
\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}
\]
Factor lineal repetido
\frac{P(x)}{(x-a)^2}
=
\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a)^2}
\]
Factor cuadrático irreducible
\frac{P(x)}{x^2+bx+c}
=
\frac{Ax+B}{x^2+bx+c}
\]
Descompón \(\dfrac{5x+1}{(x-1)(x+2)}\)
Planteamos:
\frac{5x+1}{(x-1)(x+2)}
=
\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}
\]
Multiplicamos por \((x-1)(x+2)\):
5x+1=A(x+2)+B(x-1)
\]
Tomamos valores que anulan cada factor:
x=1:\quad 6=3A\Rightarrow A=2
\]
x=-2:\quad -9=-3B\Rightarrow B=3
\]
Por tanto:
\frac{5x+1}{(x-1)(x+2)}
=
\frac2{x-1}+\frac3{x+2}
\]
Descompón \(\dfrac{3x+5}{(x-1)^2}\)
Planteamos:
\frac{3x+5}{(x-1)^2}
=
\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}
\]
Multiplicamos por \((x-1)^2\):
3x+5=A(x-1)+B
\]
Identificamos coeficientes:
A=3,\qquad -A+B=5\Rightarrow B=8
\]
Resultado:
\frac{3x+5}{(x-1)^2}
=
\frac3{x-1}+\frac8{(x-1)^2}
\]
Descompón \(\dfrac{x^2+3x+5}{x^2-1}\)
Como numerador y denominador tienen el mismo grado, dividimos:
\frac{x^2+3x+5}{x^2-1}
=
1+\frac{3x+6}{x^2-1}
\]
Factorizamos \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) y planteamos:
\frac{3x+6}{(x-1)(x+1)}
=
\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}
\]
Multiplicando por el denominador:
3x+6=A(x+1)+B(x-1)
\]
Con \(x=1\), \(9=2A\Rightarrow A=\dfrac92\). Con \(x=-1\), \(3=-2B\Rightarrow B=-\dfrac32\).
\frac{x^2+3x+5}{x^2-1}
=
1+\frac{9}{2(x-1)}-\frac{3}{2(x+1)}
\]
El orden correcto evita casi todos los errores
En fracciones algebraicas, la mayor parte del trabajo consiste en reconocer factores, conservar las restricciones y aplicar con precisión las reglas de las fracciones.
Errores frecuentes
Resumen del tema
Las fracciones algebraicas son cocientes de polinomios. Su tratamiento exige factorizar, excluir los ceros del denominador, simplificar únicamente factores y aplicar las operaciones con denominador común cuando sea necesario. Las fracciones racionales propias pueden descomponerse en fracciones simples según la factorización de su denominador.
Antes de continuar
- Factorizo polinomios con seguridad.
- Determino el dominio antes de simplificar.
- Solo cancelo factores completos.
- Resuelvo operaciones combinadas por etapas.
- Planteo fracciones simples según el denominador.