Matemáticas I · Números y Álgebra · Tema 01

Números reales y fracción generatriz

Comprende cómo se organizan los números, aprende a pasar de decimal a fracción y expresa conjuntos numéricos con intervalos y valor absoluto.

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Una misma cantidad puede escribirse de varias formas

El número \(0,75\), la fracción \(\frac{3}{4}\) y el porcentaje \(75\%\) representan exactamente la misma cantidad. En este tema aprenderás a reconocer estas equivalencias, a distinguir los números racionales de los irracionales y a elegir la representación más útil en cada situación.

1Clasificar números reales
2Obtener fracciones generatrices
3Expresar intervalos y errores
01

El mapa de los números

Conjuntos numéricos

Los conjuntos numéricos se construyen ampliando los anteriores. Cada ampliación permite resolver operaciones o ecuaciones que antes no tenían solución.

ℕ

Números naturales

Se usan para contar. Consideraremos que el cero está incluido.

\[\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\ldots\}\]
ℤ

Números enteros

Incluyen los naturales, sus opuestos y el cero.

\[\mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}\]
ℚ

Números racionales

Pueden expresarse como cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.

\[\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}:p,q\in\mathbb{Z},\ q\neq0\right\}\]
𝕀

Números irracionales

No pueden escribirse como fracción de enteros. Su expresión decimal es infinita y no periódica.

\[\sqrt2,\ \pi,\ e,\ \sqrt[3]{5},\ldots\]
\(\mathbb N\)⊂\(\mathbb Z\)⊂\(\mathbb Q\)⊂\(\mathbb R\)
iLos números reales reúnen todos los racionales y todos los irracionales: \(\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}\). Además, \(\mathbb{Q}\cap\mathbb{I}=\varnothing\): ningún número puede ser racional e irracional a la vez.
Ejemplo resuelto

Clasifica \(-5\), \(\frac{7}{3}\), \(0,\overline{4}\), \(\sqrt{49}\), \(\sqrt{10}\) y \(\pi\)

\(-5\in\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R\). La fracción \(\frac73\) y el decimal periódico \(0,\overline4\) son racionales. Como \(\sqrt{49}=7\), es natural, entero y racional. En cambio, \(\sqrt{10}\) y \(\pi\) son irracionales.

Idea clave: hay que simplificar antes de clasificar. Una raíz no es necesariamente irracional.

02

La expresión decimal

Tipos de números decimales

El tipo de desarrollo decimal permite decidir si un número es racional. Todo decimal exacto o periódico representa una fracción; un decimal infinito no periódico es irracional.

Tipo Cómo reconocerlo Ejemplo Conjunto
Exacto Tiene un número finito de cifras decimales. \(2,375\) Racional
Periódico puro El periodo comienza justo después de la coma. \(0,\overline{27}\) Racional
Periódico mixto Antes del periodo aparece una parte decimal no periódica, llamada anteperiodo. \(1,2\overline{34}\) Racional
Infinito no periódico Sus cifras no terminan ni repiten un bloque fijo. \(\pi=3,141592\ldots\) Irracional
iEquivalencia fundamental: un número es racional si y solo si su expresión decimal es exacta o periódica. Por eso siempre podremos calcular la fracción generatriz de esos tres tipos de decimales.
03

De decimal a fracción

Fracción generatriz

La fracción generatriz es la fracción irreducible que representa exactamente un número decimal. El procedimiento depende de que el decimal sea exacto, periódico puro o periódico mixto.

Caso 1Decimal exacto

\(x=2,375\)

Escribe como numerador el número sin coma y como denominador una potencia de diez con tantos ceros como cifras decimales.

  1. Hay tres cifras decimales: el denominador será \(10^3=1000\).
  2. Quitamos la coma: el numerador es \(2375\).
  3. Simplificamos la fracción dividiendo entre \(125\).
\[2,375=\frac{2375}{1000}=\frac{19}{8}\]
Caso 2Periódico puro

\(x=2,\overline{37}\)

Multiplica por una potencia de diez que desplace un periodo completo y resta las dos igualdades.

  1. El periodo tiene dos cifras: \(100x=237,\overline{37}\).
  2. Restamos \(x=2,\overline{37}\) para eliminar la parte periódica.
  3. Queda \(99x=235\); despejamos \(x\).
\[\begin{array}{rcl}100x&=&237,\overline{37}\\x&=&2,\overline{37}\\\hline 99x&=&235\end{array}\qquad x=\frac{235}{99}\]
Caso 3Periódico mixto

\(x=1,2\overline{34}\)

Necesitamos dos multiplicaciones: una lleva el periodo tras la coma y otra desplaza un periodo completo.

  1. Anteperiodo: una cifra. Periodo: dos cifras.
  2. \(10x=12,\overline{34}\) y \(1000x=1234,\overline{34}\).
  3. Restamos: \(990x=1222\), despejamos y simplificamos.
\[\begin{array}{rcl}1000x&=&1234,\overline{34}\\10x&=&12,\overline{34}\\\hline 990x&=&1222\end{array}\qquad x=\frac{1222}{990}=\frac{611}{495}\]
Regla abreviada

Numerador y denominador sin plantear las igualdades

En un periódico puro: número hasta completar un periodo menos parte entera, dividido entre tantos nueves como cifras tenga el periodo.

\[2,\overline{37}=\frac{237-2}{99}=\frac{235}{99}\]

En un periódico mixto: número hasta completar un periodo menos número formado hasta el anteperiodo, dividido entre tantos nueves como cifras periódicas seguidos de tantos ceros como cifras no periódicas.

\[1,2\overline{34}=\frac{1234-12}{990}=\frac{611}{495}\]
!Comprueba siempre el resultado. La fracción final debe ser irreducible y su valor decimal debe coincidir con el número de partida. La barra del periodo solo cubre las cifras que se repiten.
04

Subconjuntos de la recta real

Intervalos y semirrectas

Un intervalo reúne todos los números reales comprendidos entre dos extremos. Un corchete indica que el extremo pertenece al conjunto; un paréntesis, que no pertenece.

Intervalo abierto

Los extremos no están incluidos.

\[(a,b)=\{x\in\mathbb R:a\lt x\lt b\}\]

Intervalo cerrado

Los dos extremos están incluidos.

\[[a,b]=\{x\in\mathbb R:a\le x\le b\}\]

Intervalo semiabierto

Solo uno de los extremos está incluido.

\[[a,b)=\{x\in\mathbb R:a\le x\lt b\}\]

Semirrecta

Se prolonga indefinidamente en una dirección.

\[(-\infty,b]=\{x\in\mathbb R:x\le b\}\]
iEl infinito nunca se incluye. \(+\infty\) y \(-\infty\) no son números reales, así que junto a ellos siempre se escribe paréntesis.
Unión e intersección

Sean \(A=[-2,4)\) y \(B=(1,6]\)

La intersección contiene los números que pertenecen a ambos conjuntos: \(A\cap B=(1,4)\). La unión contiene los que pertenecen al menos a uno: \(A\cup B=[-2,6]\).

05

Trabajar con valores aproximados

Aproximaciones y errores

Cuando no utilizamos todas las cifras de un número irracional o de un decimal muy largo, sustituimos su valor exacto por una aproximación. Debemos indicar cómo se ha obtenido y medir el error cometido.

T

Truncamiento

Se eliminan las cifras situadas a partir de un orden determinado, sin modificar la última cifra conservada.

\[\pi=3,141592\ldots\quad\longrightarrow\quad 3,14\]
R

Redondeo

Se observa la primera cifra eliminada. Si es 5 o mayor, se suma una unidad a la última cifra conservada.

\[\sqrt2=1,414213\ldots\quad\longrightarrow\quad 1,414\]

Error absoluto

Es la distancia entre el valor exacto \(x\) y la aproximación \(a\).

\[E_a=|x-a|\]

Error relativo

Compara el error absoluto con el tamaño del valor exacto. En porcentaje, se multiplica por \(100\).

\[E_r=\frac{|x-a|}{|x|}\]
Ejemplo resuelto

Aproximamos \(\pi\) por \(3,14\)

Error absoluto: \(E_a=|\pi-3,14|\approx0,00159265\).

Error relativo: \(E_r=\frac{|\pi-3,14|}{\pi}\approx0,000507\), es decir, aproximadamente un \(0,0507\%\).

06

Distancia y simetría

Valor absoluto

El valor absoluto de un número es su distancia al cero en la recta real. Como toda distancia, nunca puede ser negativa.

Definición

\[|x|=\begin{cases}x,&x\ge0\\-x,&x\lt0\end{cases}\]

Por ejemplo, \(|5|=5\) y \(|-5|=5\). Los números \(5\) y \(-5\) están a la misma distancia del cero.

Distancia entre dos números

\[d(a,b)=|a-b|\]

La distancia entre \(-2\) y \(5\) es \(|-2-5|=|-7|=7\).

Distancia menor que \(r\)

Si \(r\gt0\), los números están dentro de un intervalo centrado en cero.

\[|x|\lt r\iff -r\lt x\lt r\]

Distancia mayor que \(r\)

Si \(r\gt0\), los números quedan fuera del intervalo central.

\[|x|\gt r\iff x\lt-r\ \text{o}\ x\gt r\]
Ejemplo conectado con intervalos

Expresa \(|x-3|\le2\) como intervalo

La expresión indica que la distancia entre \(x\) y \(3\) no supera \(2\): \(-2\le x-3\le2\). Sumando \(3\) en los tres miembros obtenemos \(1\le x\le5\). Por tanto, la solución es \([1,5]\).

Qué debes recordar

Seis ideas que sostienen todo el tema

Si estas relaciones están claras, el resto del trabajo consiste en aplicar cada procedimiento con orden y comprobar el resultado.

RacionalSu decimal es exacto o periódico y admite una fracción generatriz.
IrracionalSu decimal es infinito no periódico; no puede expresarse como fracción de enteros.
PeriodoSolo las cifras cubiertas por la barra se repiten indefinidamente.
IntervalosCorchete significa incluido; paréntesis, excluido. El infinito siempre queda abierto.

Errores frecuentes

Confundir raíz con irracional\(\sqrt{36}=6\) es natural. Primero simplifica y después clasifica.
Colocar mal los nueves y cerosEn un periódico mixto, los nueves corresponden al periodo y los ceros al anteperiodo.
Cerrar el infinito\(+\infty\) y \(-\infty\) nunca llevan corchete porque no son números reales.

Resumen del tema

Los reales están formados por racionales e irracionales. Los racionales tienen expresión decimal exacta o periódica y pueden transformarse en una fracción. Los intervalos, el valor absoluto y los errores permiten describir conjuntos, distancias y aproximaciones con precisión.

Antes de continuar

  • Clasifico números simplificados.
  • Distingo periodo y anteperiodo.
  • Obtengo y simplifico la generatriz.
  • Traduzco desigualdades a intervalos.
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