Matemáticas I · Números y Álgebra · Tema 02

Radicales y racionalización

Aprende a interpretar, simplificar y operar con radicales, a reducirlos a índice común y a eliminar raíces de los denominadores de forma ordenada.

Comenzar el tema
Volver al bloque

Una raíz es otra forma de escribir una potencia

Los radicales permiten expresar de forma exacta números que no siempre pueden escribirse como fracciones o decimales finitos. Su manejo se apoya en las propiedades de las potencias, pero exige controlar el índice, el radicando, el signo y las condiciones de existencia.

1Simplificar radicales
2Operar con expresiones radicales
3Racionalizar denominadores
01

Lenguaje y significado

Concepto de radical

La raíz enésima de un número \(a\) es el número que, elevado a \(n\), produce \(a\). El índice indica la potencia que debemos invertir.

√

Signo radical

Indica que debemos calcular una raíz. Si el índice es \(2\), normalmente no se escribe.

\[\sqrt{a}=\sqrt[2]{a}\]
n

Índice

Indica qué potencia debe tener el resultado para recuperar el radicando.

\[\sqrt[n]{a}=b\iff b^n=a\]
a

Radicando

Es la cantidad situada bajo el signo radical.

\[\sqrt[n]{\color{inherit}{a}}\]
b

Raíz

Es el valor que satisface la igualdad correspondiente.

\[\sqrt[3]{8}=2\quad\text{porque}\quad2^3=8\]

Índice par

En los números reales, el radicando debe ser mayor o igual que cero.

\[\sqrt[2k]{a}\in\mathbb R\iff a\ge0\]

Índice impar

Admite cualquier radicando real, positivo, nulo o negativo.

\[\sqrt[2k+1]{a}\in\mathbb R\quad\forall a\in\mathbb R\]
Ejemplo resuelto

Determina cuáles existen en \(\mathbb R\)

\(\sqrt{25}=5\), porque \(5^2=25\). \(\sqrt[3]{-8}=-2\), porque \((-2)^3=-8\). En cambio, \(\sqrt{-9}\) no es un número real, ya que ningún número real al cuadrado da \(-9\).

!No confundas \(\sqrt{a^2}\) con \(a\). Para cualquier número real \(a\), se cumple \(\sqrt{a^2}=|a|\). Por ejemplo, \(\sqrt{(-5)^2}=5\), no \(-5\).
02

Reglas fundamentales

Propiedades de los radicales

Las propiedades de los radicales proceden de las propiedades de las potencias. Deben aplicarse respetando las condiciones de existencia de cada expresión.

Propiedad Expresión Ejemplo
Producto \(\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\) \(\sqrt3\cdot\sqrt{12}=\sqrt{36}=6\)
Cociente \(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\), \(b\neq0\) \(\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt2}=\sqrt{25}=5\)
Potencia de un radical \(\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}\) \(\left(\sqrt[3]{2}\right)^4=\sqrt[3]{16}\)
Raíz de una raíz \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\) \(\sqrt{\sqrt[3]{5}}=\sqrt[6]{5}\)
Ampliación \(\sqrt[n]{a}=\sqrt[kn]{a^k}\) \(\sqrt[3]{2}=\sqrt[6]{4}\)
Simplificación de índice \(\sqrt[kn]{a^k}=\sqrt[n]{a}\) \(\sqrt[6]{x^2}=\sqrt[3]{x}\), cuando procede
iAtención con las sumas. En general, \(\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b\). Por ejemplo, \(\sqrt{9+16}=5\), mientras que \(\sqrt9+\sqrt{16}=7\).
Ejemplo resuelto

Simplifica \(\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{16}\)

Como los radicales tienen el mismo índice, podemos multiplicar los radicandos:

\[\sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{64}=4\]
03

Extraer factores

Simplificación de radicales

Simplificar un radical consiste en extraer del radicando todos los factores que sean potencias completas del índice. El resultado debe contener el menor radicando posible.

MétodoFactorización

\(\sqrt{72}\)

Descomponemos el radicando y agrupamos factores de dos en dos.

  1. \(72=2^3\cdot3^2\).
  2. Extraemos \(2^2\) y \(3^2\).
  3. Queda un factor \(2\) dentro del radical.
\[\sqrt{72}=\sqrt{2^2\cdot3^2\cdot2}=2\cdot3\sqrt2=6\sqrt2\]
MétodoÍndice 3

\(\sqrt[3]{432}\)

En una raíz cúbica agrupamos los factores de tres en tres.

  1. \(432=2^4\cdot3^3\).
  2. Extraemos \(2^3\) y \(3^3\).
  3. Queda un factor \(2\) dentro.
\[\sqrt[3]{432}=\sqrt[3]{2^3\cdot3^3\cdot2}=2\cdot3\sqrt[3]{2}=6\sqrt[3]{2}\]
MétodoCon variables

\(\sqrt{48x^5}\)

Separamos potencias pares completas y dejamos dentro los exponentes sobrantes.

  1. \(48=16\cdot3\).
  2. \(x^5=x^4\cdot x\).
  3. Extraemos \(\sqrt{16}=4\) y \(\sqrt{x^4}=x^2\).
\[\sqrt{48x^5}=4x^2\sqrt{3x}\]
Introducir factores en un radical

Expresa \(3\sqrt[4]{2}\) como un único radical

Para introducir un factor exterior en una raíz de índice \(4\), lo elevamos a la cuarta potencia:

\[3\sqrt[4]{2}=\sqrt[4]{3^4\cdot2}=\sqrt[4]{162}\]
iCriterio práctico: en una raíz de índice \(n\), cada grupo de \(n\) factores iguales sale como un solo factor. Los factores que no completan un grupo permanecen dentro.
04

Cálculo con expresiones radicales

Operaciones con radicales

Antes de operar conviene simplificar todos los radicales. Las sumas y restas solo pueden reducirse cuando los radicales son semejantes: mismo índice y mismo radicando.

Suma y resta

Solo se suman o restan los coeficientes de radicales semejantes.

\[a\sqrt[n]{b}+c\sqrt[n]{b}=(a+c)\sqrt[n]{b}\]

Producto

Si tienen el mismo índice, se multiplican coeficientes y radicandos.

\[(a\sqrt[n]{b})(c\sqrt[n]{d})=ac\sqrt[n]{bd}\]

Cociente

Si tienen el mismo índice, se dividen coeficientes y radicandos.

\[\frac{a\sqrt[n]{b}}{c\sqrt[n]{d}}=\frac ac\sqrt[n]{\frac bd}\]

Potencia

Se eleva el coeficiente y se aplica la potencia al radical.

\[\left(a\sqrt[n]{b}\right)^m=a^m\sqrt[n]{b^m}\]
Ejemplo 1Suma

\(\sqrt{12}+2\sqrt{27}-\sqrt{75}\)

  1. \(\sqrt{12}=2\sqrt3\).
  2. \(2\sqrt{27}=2\cdot3\sqrt3=6\sqrt3\).
  3. \(\sqrt{75}=5\sqrt3\).
  4. Sumamos coeficientes: \(2+6-5=3\).
\[\sqrt{12}+2\sqrt{27}-\sqrt{75}=3\sqrt3\]
Ejemplo 2Producto

\((2\sqrt3)(5\sqrt6)\)

  1. Multiplicamos coeficientes: \(2\cdot5=10\).
  2. Multiplicamos radicales: \(\sqrt3\sqrt6=\sqrt{18}\).
  3. Simplificamos: \(\sqrt{18}=3\sqrt2\).
\[(2\sqrt3)(5\sqrt6)=30\sqrt2\]
Ejemplo 3Binomio

\((\sqrt5-\sqrt2)^2\)

  1. Aplicamos \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).
  2. \((\sqrt5)^2=5\) y \((\sqrt2)^2=2\).
  3. El término doble es \(-2\sqrt{10}\).
\[(\sqrt5-\sqrt2)^2=7-2\sqrt{10}\]
!Radicales semejantes no significa radicandos parecidos. \(\sqrt2\) y \(\sqrt8\) no parecen semejantes al principio, pero \(\sqrt8=2\sqrt2\). Por eso debes simplificar antes de sumar o restar.
05

Comparar y multiplicar índices distintos

Reducción a índice común

Para operar con radicales de distinto índice, podemos transformarlos en radicales equivalentes con un mismo índice. El índice común más sencillo es el mínimo común múltiplo de los índices iniciales.

ProcedimientoÍndice común

\(\sqrt[3]{2}\) y \(\sqrt[4]{5}\)

  1. Calculamos \(\operatorname{mcm}(3,4)=12\).
  2. Para pasar de índice \(3\) a \(12\), multiplicamos índice y exponente por \(4\).
  3. Para pasar de índice \(4\) a \(12\), multiplicamos índice y exponente por \(3\).
\[\sqrt[3]{2}=\sqrt[12]{2^4}=\sqrt[12]{16},\qquad \sqrt[4]{5}=\sqrt[12]{5^3}=\sqrt[12]{125}\]
AplicaciónProducto

\(\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[4]{8}\)

  1. El índice común es \(12\).
  2. \(\sqrt[3]{2}=\sqrt[12]{2^4}\).
  3. \(\sqrt[4]{8}=\sqrt[12]{8^3}\).
  4. Multiplicamos los radicandos y simplificamos.
\[\sqrt[3]{2}\sqrt[4]{8}=\sqrt[12]{2^4\cdot8^3}=\sqrt[12]{2^{13}}=2\sqrt[12]{2}\]
Comparación de radicales

Compara \(\sqrt[3]{4}\) y \(\sqrt5\)

Reducimos a índice común \(6\):

\[\sqrt[3]{4}=\sqrt[6]{4^2}=\sqrt[6]{16},\qquad \sqrt5=\sqrt[6]{5^3}=\sqrt[6]{125}\]

Como \(16<125\), se cumple \(\sqrt[3]{4}<\sqrt5\).

06

Notación equivalente

Radicales como potencias de exponente racional

Todo radical puede escribirse como una potencia de exponente fraccionario. Esta notación simplifica muchas operaciones y conecta directamente los radicales con las propiedades de las potencias.

Definición

\[\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac mn}\]

El denominador del exponente es el índice de la raíz y el numerador es el exponente del radicando.

Conversión inversa

\[a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m\]

Podemos elegir la forma que facilite más el cálculo.

1/2

Exponente \(\frac12\)

\[a^{1/2}=\sqrt a\]

Representa la raíz cuadrada.

1/3

Exponente \(\frac13\)

\[a^{1/3}=\sqrt[3]a\]

Representa la raíz cúbica.

−

Exponente negativo

\[a^{-m/n}=\frac1{\sqrt[n]{a^m}}\]

Indica el inverso de la potencia positiva.

Ejemplo resuelto

Simplifica \(8^{2/3}\cdot 2^{-1/2}\)

Calculamos cada potencia por separado:

\[8^{2/3}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=2^2=4,\qquad 2^{-1/2}=\frac1{\sqrt2}\]

Por tanto:

\[8^{2/3}\cdot2^{-1/2}=\frac4{\sqrt2}=2\sqrt2\]
07

Eliminar raíces del denominador

Racionalización de denominadores

Racionalizar consiste en transformar una fracción equivalente para que su denominador no contenga radicales. El factor utilizado depende de la forma del denominador.

Caso 1Una raíz cuadrada

\(\dfrac{5}{\sqrt3}\)

Multiplicamos numerador y denominador por el mismo radical.

  1. Multiplicamos por \(\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}\).
  2. En el denominador: \(\sqrt3\cdot\sqrt3=3\).
  3. Simplificamos si es posible.
\[\frac5{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=\frac{5\sqrt3}{3}\]
Caso 2Raíz de índice \(n\)

\(\dfrac{2}{\sqrt[3]{5}}\)

Completamos una potencia cúbica en el denominador.

  1. En \(\sqrt[3]{5}\) falta \(5^2\) para formar \(5^3\).
  2. Multiplicamos por \(\dfrac{\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{25}}\).
  3. El denominador se convierte en \(\sqrt[3]{125}=5\).
\[\frac2{\sqrt[3]5}=\frac{2\sqrt[3]{25}}5\]
Caso 3Binomio conjugado

\(\dfrac{3}{2+\sqrt5}\)

Multiplicamos por el conjugado del denominador: \(2-\sqrt5\).

  1. Usamos \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\).
  2. El denominador queda \(4-5=-1\).
  3. Distribuimos y simplificamos.
\[\frac3{2+\sqrt5}\cdot\frac{2-\sqrt5}{2-\sqrt5}=\frac{3(2-\sqrt5)}{-1}=3\sqrt5-6\]

Denominador \(a+\sqrt b\)

Se multiplica por su conjugado \(a-\sqrt b\).

\[(a+\sqrt b)(a-\sqrt b)=a^2-b\]

Denominador \(\sqrt a+\sqrt b\)

Se multiplica por \(\sqrt a-\sqrt b\).

\[(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)=a-b\]
Ejemplo completo

Racionaliza \(\dfrac{4}{\sqrt7-\sqrt3}\)

El conjugado de \(\sqrt7-\sqrt3\) es \(\sqrt7+\sqrt3\):

\[
\frac4{\sqrt7-\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt7+\sqrt3}{\sqrt7+\sqrt3}
=
\frac{4(\sqrt7+\sqrt3)}{7-3}
=
\sqrt7+\sqrt3
\]
iEl conjugado solo cambia el signo central. El conjugado de \(a+\sqrt b\) es \(a-\sqrt b\), y el de \(a-\sqrt b\) es \(a+\sqrt b\).
Qué debes recordar

Seis decisiones que resuelven casi cualquier ejercicio

El orden de trabajo es tan importante como las propiedades. Antes de operar, observa el índice, simplifica y decide qué transformación conviene.

ExistenciaCon índice par, el radicando debe ser no negativo. Con índice impar, puede ser cualquier real.
SimplificaciónExtrae potencias completas del índice y deja dentro solo los factores sobrantes.
Suma y restaSolo se combinan radicales semejantes después de haberlos simplificado.
RacionalizaciónCompleta la potencia necesaria o utiliza el conjugado cuando aparece una suma o diferencia.

Errores frecuentes

Separar una suma dentro de una raíz\(\sqrt{a+b}\) no puede transformarse en \(\sqrt a+\sqrt b\).
Sumar radicales no semejantes\(2\sqrt3+5\sqrt2\) no se puede reducir. Deben coincidir índice y radicando.
Olvidar simplificar primero\(\sqrt8+\sqrt2=2\sqrt2+\sqrt2=3\sqrt2\). Sin simplificar, la semejanza queda oculta.
Extraer mal una potenciaEn una raíz cúbica, los factores salen de tres en tres; en una cuarta, de cuatro en cuatro.
Usar mal el conjugadoSolo cambia el signo entre los dos términos; no cambian los signos internos de cada término.
Confundir \(\sqrt{a^2}\) con \(a\)La igualdad correcta es \(\sqrt{a^2}=|a|\).

Resumen del tema

Los radicales expresan potencias de exponente racional. Para trabajar con ellos hay que controlar sus condiciones de existencia, simplificar extrayendo potencias completas, operar únicamente cuando las propiedades lo permiten, reducir a índice común cuando los índices son distintos y racionalizar los denominadores mediante factores adecuados o conjugados.

Antes de continuar

  • Distingo índice, radicando y raíz.
  • Simplifico antes de operar.
  • Reconozco radicales semejantes.
  • Reduzco a índice común.
  • Racionalizo los tres casos básicos.
Scroll al inicio