Matemáticas I · Números y Álgebra · Tema 03

Logaritmos: definición y propiedades

Comprende qué representa un logaritmo, aprende a aplicar sus propiedades y calcula expresiones logarítmicas mediante cambio de base y logaritmos conocidos.

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Un logaritmo responde a una pregunta sobre exponentes

Cuando escribimos \(\log_a b=x\), estamos diciendo que \(a^x=b\). Por tanto, estudiar logaritmos consiste en traducir entre dos lenguajes equivalentes: el lenguaje exponencial y el lenguaje logarítmico.

1Interpretar un logaritmo
2Aplicar sus propiedades
3Calcular con distintas bases
01

La idea fundamental

Definición de logaritmo

El logaritmo de un número positivo \(b\) en base \(a\) es el exponente al que hay que elevar la base \(a\) para obtener \(b\).

a

Base

Es el número que se eleva a una potencia. Debe cumplir \(a>0\) y \(a\neq1\).

\[\log_a b=x\]
b

Argumento

Es el número cuyo logaritmo calculamos. Siempre debe ser positivo.

\[b>0\]
x

Resultado

Es el exponente que transforma la base en el argumento.

\[\log_a b=x\iff a^x=b\]
Ejemplo resuelto

Calcula \(\log_2 8\)

Buscamos el exponente al que debemos elevar \(2\) para obtener \(8\):

\[2^3=8\quad\Longrightarrow\quad \log_2 8=3\]

Logaritmo decimal

Cuando la base es \(10\), suele omitirse.

\[\log x=\log_{10}x\]

Logaritmo neperiano

Cuando la base es el número \(e\), se escribe \(\ln\).

\[\ln x=\log_e x\]
02

Cuándo tiene sentido

Condiciones de existencia

Para que un logaritmo exista en los números reales, la base debe ser positiva y distinta de \(1\), y el argumento debe ser estrictamente positivo.

>0

Base positiva

No se admiten bases negativas en el estudio elemental de los logaritmos reales.

\[a>0\]
≠1

Base distinta de uno

La base \(1\) no sirve porque \(1^x=1\) para cualquier exponente.

\[a\neq1\]
b>0

Argumento positivo

No existe el logaritmo real de cero ni de un número negativo.

\[b>0\]
Expresión ¿Existe? Motivo
\(\log_2 8\) Sí La base es positiva y distinta de \(1\), y el argumento es positivo.
\(\log_1 5\) No La base no puede ser \(1\).
\(\log_{-2}8\) No La base debe ser positiva.
\(\log_3 0\) No El argumento debe ser estrictamente positivo.
\(\ln(-4)\) No No existe el logaritmo real de un número negativo.
Condición sobre una variable

¿Para qué valores de \(x\) existe \(\log(x-3)\)?

El argumento debe ser positivo:

\[x-3>0\quad\Longrightarrow\quad x>3\]

Por tanto, el dominio de la expresión es \((3,+\infty)\).

03

Reglas de cálculo

Propiedades de los logaritmos

Las propiedades logarítmicas transforman productos en sumas, cocientes en restas y potencias en productos. Son la herramienta principal para simplificar expresiones.

Propiedad Expresión Lectura
Logaritmo de \(1\) \(\log_a1=0\) Porque \(a^0=1\).
Logaritmo de la base \(\log_a a=1\) Porque \(a^1=a\).
Producto \(\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\) Un producto se transforma en suma.
Cociente \(\log_a\left(\dfrac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y\) Un cociente se transforma en resta.
Potencia \(\log_a(x^r)=r\log_a x\) El exponente pasa multiplicando.
Raíz \(\log_a\sqrt[n]{x}=\dfrac1n\log_a x\) Es un caso particular de la propiedad de la potencia.
!No existe una propiedad para la suma. En general, \(\log_a(x+y)\neq\log_a x+\log_a y\).
Ejemplo 1Producto

\(\log_2(8\cdot4)\)

  1. Separamos el producto.
  2. \(\log_2 8=3\).
  3. \(\log_2 4=2\).
\[\log_2(8\cdot4)=3+2=5\]
Ejemplo 2Cociente

\(\log_3\left(\dfrac{81}{9}\right)\)

  1. Aplicamos la propiedad del cociente.
  2. \(\log_3 81=4\).
  3. \(\log_3 9=2\).
\[\log_3\left(\frac{81}{9}\right)=4-2=2\]
Ejemplo 3Potencia

\(\log_5(25^3)\)

  1. El exponente pasa multiplicando.
  2. \(\log_5 25=2\).
  3. Multiplicamos \(3\cdot2\).
\[\log_5(25^3)=3\log_5 25=6\]
04

Reconocer potencias

Cálculo directo de logaritmos

Muchos logaritmos pueden calcularse sin calculadora si escribimos el argumento como una potencia de la base.

Caso 1Exponente positivo

\(\log_3 81\)

  1. Escribimos \(81\) como potencia de \(3\).
  2. \(81=3^4\).
  3. El exponente buscado es \(4\).
\[\log_3 81=4\]
Caso 2Exponente negativo

\(\log_2\dfrac18\)

  1. \(\dfrac18=2^{-3}\).
  2. Buscamos el exponente de \(2\).
  3. El resultado es negativo.
\[\log_2\frac18=-3\]
Caso 3Exponente fraccionario

\(\log_9 3\)

  1. Escribimos \(9=3^2\).
  2. Entonces \(3=9^{1/2}\).
  3. El exponente buscado es \(\frac12\).
\[\log_9 3=\frac12\]
Ejemplo combinado

Calcula \(\log_4\left(\dfrac1{8}\right)\)

Escribimos ambos números como potencias de \(2\): \(4=2^2\) y \(\dfrac18=2^{-3}\). Buscamos \(x\) tal que:

\[(2^2)^x=2^{-3}\quad\Longrightarrow\quad2x=-3\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac32\]

Por tanto, \(\log_4\left(\dfrac18\right)=-\dfrac32\).

05

Trabajar con cualquier base

Cambio de base

La fórmula de cambio de base permite expresar un logaritmo en cualquier otra base válida. Es especialmente útil para calcular con las teclas \(\log\) o \(\ln\) de la calculadora.

Fórmula general

\[\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}\]

La nueva base \(c\) puede ser cualquier número positivo distinto de \(1\).

Formas más utilizadas

\[\log_a b=\frac{\log b}{\log a}=\frac{\ln b}{\ln a}\]

Ambas expresiones producen exactamente el mismo resultado.

Ejemplo resuelto

Calcula \(\log_2 7\) con calculadora

Como la calculadora no suele tener una tecla específica para base \(2\), cambiamos a base \(10\):

\[\log_2 7=\frac{\log7}{\log2}\approx2,8074\]

La comprobación es coherente porque \(2^2=4\), \(2^3=8\) y \(7\) está entre ambos valores.

iEl cambio de base no altera el valor del logaritmo. Solo modifica la forma de calcularlo.
06

Construir nuevos resultados

Cálculo a partir de logaritmos conocidos

Si conocemos algunos logaritmos, podemos calcular otros aplicando las propiedades sin necesidad de conocer directamente el valor del argumento.

Datos conocidos

Si \(\log2=a\) y \(\log3=b\), calcula distintos logaritmos

Ejemplo 1Producto

\(\log6\)

  1. Descomponemos \(6=2\cdot3\).
  2. Aplicamos la propiedad del producto.
  3. Sustituimos los datos conocidos.
\[\log6=\log2+\log3=a+b\]
Ejemplo 2Cociente

\(\log\left(\dfrac32\right)\)

  1. Aplicamos la propiedad del cociente.
  2. Restamos los logaritmos.
  3. Sustituimos los valores conocidos.
\[\log\left(\frac32\right)=\log3-\log2=b-a\]
Ejemplo 3Potencia

\(\log72\)

  1. Descomponemos \(72=2^3\cdot3^2\).
  2. Aplicamos producto y potencia.
  3. Sustituimos \(\log2=a\) y \(\log3=b\).
\[\log72=3\log2+2\log3=3a+2b\]
Ejemplo con raíz

Calcula \(\log\left(\dfrac{\sqrt[3]{12}}{5}\right)\) sabiendo que \(\log2=a\), \(\log3=b\) y \(\log5=c\)

Aplicamos cociente, raíz y producto:

\[
\log\left(\frac{\sqrt[3]{12}}5\right)
=
\frac13\log12-\log5
=
\frac13\log(2^2\cdot3)-c
\]
\[
\log\left(\frac{\sqrt[3]{12}}5\right)
=
\frac13(2a+b)-c
\]
07

Interpretar y simplificar

Aplicaciones habituales

En 1.º de Bachillerato, los logaritmos aparecen principalmente en simplificación de expresiones, resolución de ecuaciones sencillas y modelos de crecimiento.

Pasar de forma logarítmica a exponencial

La definición permite cambiar de una notación a otra.

\[\log_5 125=3\iff5^3=125\]

Pasar de forma exponencial a logarítmica

Una igualdad exponencial puede escribirse como logaritmo.

\[2^{-4}=\frac1{16}\iff\log_2\frac1{16}=-4\]

Desarrollar una expresión

Se aplican las propiedades hasta separar productos, cocientes y potencias.

\[\log\left(\frac{x^2\sqrt y}{z^3}\right)=2\log x+\frac12\log y-3\log z\]

Condensar una expresión

Se recorren las propiedades en sentido inverso.

\[2\log x-\log y=\log\left(\frac{x^2}{y}\right)\]
Ejemplo de desarrollo

Desarrolla \(\log_a\left(\dfrac{x^3\sqrt y}{z^2}\right)\)

\[
\log_a\left(\frac{x^3\sqrt y}{z^2}\right)
=
\log_a(x^3)+\log_a(\sqrt y)-\log_a(z^2)
\]
\[
=3\log_a x+\frac12\log_a y-2\log_a z
\]
Qué debes recordar

Seis ideas que organizan todo el tema

El éxito en logaritmos depende de identificar bien la base, comprobar las condiciones de existencia y elegir la propiedad adecuada.

Definición\(\log_a b=x\) significa exactamente que \(a^x=b\).
ExistenciaLa base debe ser positiva y distinta de \(1\); el argumento debe ser positivo.
PropiedadesProducto se convierte en suma, cociente en resta y potencia en producto.
Cambio de basePermite calcular cualquier logaritmo usando \(\log\) o \(\ln\).

Errores frecuentes

Tomar logaritmos de números no positivos\(\log0\) y \(\log(-3)\) no existen en los números reales.
Separar una suma\(\log(x+y)\) no es igual a \(\log x+\log y\).
Olvidar el signo en un cocienteEl denominador produce una resta: \(\log(x/y)=\log x-\log y\).
Confundir base y argumentoEn \(\log_a b\), la base es \(a\) y el argumento es \(b\).
Aplicar mal la potenciaEn \(\log(x^n)\), el exponente pasa multiplicando: \(n\log x\).
Invertir el cambio de baseLa fórmula correcta es \(\log_a b=\dfrac{\log b}{\log a}\).

Resumen del tema

Un logaritmo expresa un exponente. Para que exista, la base debe ser positiva y distinta de \(1\), y el argumento debe ser positivo. Sus propiedades permiten transformar productos, cocientes, potencias y raíces. El cambio de base facilita el cálculo con calculadora, y los logaritmos conocidos permiten obtener otros mediante descomposición algebraica.

Antes de continuar

  • Traduzco entre forma logarítmica y exponencial.
  • Compruebo las condiciones de existencia.
  • Aplico correctamente producto, cociente y potencia.
  • Uso la fórmula de cambio de base.
  • Calculo a partir de logaritmos conocidos.
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