3 – Ecuación matricial y determinantes
Madrid · 2026 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Se consideran las matrices:
\[
A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&2&1\end{pmatrix},\qquad
B=\begin{pmatrix}2&-1\\1&0\\-1&-2\end{pmatrix},\qquad
C=\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\0&-1&1\end{pmatrix}.
\]
- Resuelva la ecuación matricial \(AX+X=B\). (1 punto)
- Responda solo a uno de los dos apartados siguientes: (1 punto)
- b1) Calcule el determinante de la matriz \((2C)^{100}\) aplicando propiedades de los determinantes.
- b2) Justifique si las matrices \(A\) y \(AB\) son invertibles.
🟠 Comprensión del enunciado
Como \(A\) es \(3\times3\) y \(B\) es \(3\times2\), la matriz desconocida \(X\) debe ser \(3\times2\).
En la ecuación \(AX+X=B\), el segundo sumando puede escribirse como \(I_3X\). Por tanto:
\[
AX+I_3X=(A+I_3)X=B.
\]
En el apartado b) solo se exige resolver una opción, aunque se muestran ambas para estudiar todas las ideas del ejercicio.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Álgebra.
- Ecuaciones matriciales y matriz identidad.
- Dimensiones de un producto de matrices.
- Determinante de un producto y de una potencia.
- Efecto de multiplicar una matriz por un escalar.
- Condición necesaria para que una matriz sea invertible.
Una matriz invertible debe ser cuadrada y tener determinante distinto de cero.
🟢 Estrategia de resolución
Para resolver \(AX+X=B\), sacamos \(X\) como factor común por la derecha:
\[
(A+I_3)X=B.
\]
Podemos calcular la inversa de \(A+I_3\) o resolver directamente las dos columnas del sistema.
Para b1) encadenamos las propiedades \(\det(M^n)=\det(M)^n\) y \(\det(kM)=k^3det(M)\) en matrices de orden \(3\).
Para b2) comprobamos primero el tamaño de cada matriz y, solo si es cuadrada, su determinante.
🟣 Resolución paso a paso
a) Resolución de la ecuación matricial
\[
AX+X=B
\quad\Longrightarrow\quad
(A+I_3)X=B.
\]
Calculamos:
\[
A+I_3=
\begin{pmatrix}
2&0&1\\
0&2&0\\
0&2&2
\end{pmatrix}.
\]
Su determinante es \(8\neq0\), de modo que existe una única solución. Resolviendo \((A+I_3)X=B\), obtenemos:
\[
\boxed{
X=
\begin{pmatrix}
\frac32&0\\
\frac12&0\\
-1&-1
\end{pmatrix}}
\]
La comprobación es:
\[
AX+X=
\begin{pmatrix}
2&-1\\
1&0\\
-1&-2
\end{pmatrix}=B.
\]
b1) Determinante de \((2C)^{100}\)
La matriz \(C\) es triangular y el producto de los elementos de su diagonal es \(1\), luego:
\[
\det(C)=1.
\]
Como \(C\) es de orden \(3\):
\[
\det(2C)=2^3\det(C)=8.
\]
Por tanto:
\[
\boxed{\det\bigl((2C)^{100}\bigr)
=\det(2C)^{100}=8^{100}=2^{300}}
\]
b2) Invertibilidad de \(A\) y \(AB\)
La matriz \(A\) es cuadrada de orden \(3\) y:
\[
\det(A)=1\neq0.
\]
Por ello, \(A\) es invertible.
En cambio, \(A\) es \(3\times3\) y \(B\) es \(3\times2\), por lo que \(AB\) tiene tamaño \(3\times2\). Al no ser cuadrada, \(AB\) no es invertible.
Respuesta: \(\boxed{A\text{ es invertible y }AB\text{ no es invertible}}\).
Qué debes aprender de este problema
- En una ecuación matricial solo se puede sacar factor común respetando el lado en el que aparece la incógnita.
- Las dimensiones permiten detectar rápidamente qué operaciones y qué inversas son posibles.
- En orden \(3\), multiplicar toda la matriz por \(2\) multiplica su determinante por \(2^3\).
- Una matriz rectangular no puede tener inversa en el sentido habitual.