4.1 – Posición de rectas y triángulo rectángulo
Madrid · 2026 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Sean las rectas:
\[
r_1\equiv(x,y,z)=(1+t,1,0),\qquad
r_2\equiv(x,y,z)=(1+s,s,0),\qquad t,s\in\mathbb{R}.
\]
- Estudie la posición relativa de las rectas \(r_1\) y \(r_2\). (1 punto)
- Halle una recta \(r_3\) tal que las intersecciones de \(r_1\), \(r_2\) y \(r_3\) formen un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa esté contenida en \(r_2\) y tenga longitud \(\sqrt2\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Las dos rectas están contenidas en el plano \(z=0\).
Sus vectores directores son:
\[
\vec v_1=(1,0,0),\qquad \vec v_2=(1,1,0).
\]
En el apartado b), los tres vértices del triángulo serán las intersecciones dos a dos de las rectas.
Si la hipotenusa está en \(r_2\), sus extremos deben ser \(r_1\cap r_2\) y \(r_2\cap r_3\).
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Geometría.
- Vectores directores de rectas.
- Posición relativa de dos rectas.
- Distancia entre dos puntos.
- Perpendicularidad mediante producto escalar.
- Ecuación paramétrica de una recta.
Dos rectas con vectores no proporcionales son secantes si sus ecuaciones tienen un punto común.
🟢 Estrategia de resolución
Igualamos las coordenadas de \(r_1(t)\) y \(r_2(s)\) para hallar su posible punto de corte.
Para construir el triángulo, partimos del punto de corte \(A\). Elegimos sobre \(r_2\) otro punto \(B\) a distancia \(\sqrt2\) de \(A\).
Después buscamos un punto \(C\) de \(r_1\) que forme dos catetos perpendiculares y definimos \(r_3\) como la recta que pasa por \(B\) y \(C\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Posición relativa
Los vectores \(\vec v_1=(1,0,0)\) y \(\vec v_2=(1,1,0)\) no son proporcionales, por lo que las rectas no son paralelas.
Buscamos un punto común:
\[
(1+t,1,0)=(1+s,s,0).
\]
De la segunda coordenada resulta \(s=1\), y de la primera, \(t=1\). Por tanto:
\[
A=r_1\cap r_2=(2,1,0).
\]
Las rectas son secantes.
b) Construcción de \(r_3\)
Tomamos en \(r_2\) el punto correspondiente a \(s=0\):
\[
B=(1,0,0).
\]
El segmento \(AB\) está contenido en \(r_2\) y:
\[
|AB|=\sqrt{(2-1)^2+(1-0)^2}=\sqrt2.
\]
Elegimos en \(r_1\) el punto correspondiente a \(t=0\):
\[
C=(1,1,0).
\]
Entonces:
\[
\overrightarrow{CA}=(1,0,0),\qquad
\overrightarrow{CB}=(0,-1,0),
\]
y su producto escalar es cero. El ángulo recto está en \(C\) y \(AB\) es la hipotenusa.
La recta que pasa por \(B\) y \(C\) es:
\[
\boxed{r_3\equiv(x,y,z)=(1,\lambda,0),\qquad \lambda\in\mathbb R.}
\]
También existe la solución simétrica \(r_3:(x,y,z)=(3,\lambda,0)\), tomando en \(r_2\) el punto de parámetro \(s=2\).
Qué debes aprender de este problema
- Los vectores directores permiten descartar el paralelismo, pero hay que comprobar el punto de corte.
- La longitud de un segmento de una recta depende de la norma de su vector director.
- Un triángulo rectángulo puede construirse imponiendo que dos vectores tengan producto escalar cero.
- Un problema geométrico puede admitir más de una recta válida.