E10 – Tiempo diario de uso del móvil
Castilla y León · 2024 · Ordinaria · General
Ficha del problema
Enunciado
La cantidad de tiempo que los habitantes de Astorga usan el móvil cada día sigue aproximadamente una distribución normal de media \(160\) minutos y desviación típica \(30\) minutos.
- Calcule la probabilidad de que un habitante determinado use el móvil menos de dos horas al día. (1 punto)
- Calcule el porcentaje de habitantes que usan el móvil más de tres horas y \(50\) minutos al día. (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Sea \(X\) el tiempo diario, medido en minutos:
\[
X\sim N(160,30).
\]
Debemos convertir las horas a minutos:
- Dos horas son \(120\) minutos.
- Tres horas y \(50\) minutos son \(230\) minutos.
Después tipificamos y usamos la tabla de la normal estándar.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Probabilidad y Estadística.
- Distribución normal.
- Tipificación.
- Simetría de la normal estándar.
- Probabilidad de cola.
La variable tipificada es \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\), que sigue \(N(0,1)\).
🟢 Estrategia de resolución
Transformamos cada valor de minutos en una puntuación \(z\).
La tabla proporciona \(\Phi(z)=P(Z\le z)\) para valores positivos.
Para valores negativos usamos simetría y para una cola derecha calculamos \(1-\Phi(z)\).
🟣 Resolución paso a paso
Tenemos:
\[
X\sim N(160,30),
\qquad
Z=\frac{X-160}{30}.
\]
a) Menos de dos horas
\[
P(X<120)
=P\left(Z<\frac{120-160}{30}\right)
=P(Z<-1{,}33).
\]
Por simetría y usando \(\Phi(1{,}33)=0{,}9082\):
\[
P(Z<-1{,}33)=1-0{,}9082=\boxed{0{,}0918}.
\]
La probabilidad es aproximadamente un \(9{,}18\,\%\).
b) Más de tres horas y 50 minutos
\[
P(X>230)
=P\left(Z>\frac{230-160}{30}\right)
=P(Z>2{,}33).
\]
Como \(\Phi(2{,}33)=0{,}9901\):
\[
P(Z>2{,}33)=1-0{,}9901=0{,}0099.
\]
Respuesta: el porcentaje pedido es \(\boxed{0{,}99\,\%}\).
Qué debes aprender de este problema
- Las unidades deben unificarse antes de tipificar.
- Un valor negativo de \(z\) se consulta mediante la simetría de la normal.
- Las probabilidades “más de” corresponden a la cola derecha.
- Al final hay que distinguir entre probabilidad decimal y porcentaje.