1 – Rango y ecuación matricial con parámetro
Madrid · 2026 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Dada la matriz real:
\[
A=
\begin{pmatrix}
1&\lambda-2&\lambda\\
0&1&\lambda-1\\
1&0&1
\end{pmatrix},
\]
- Discuta el rango de \(A\) en función del parámetro \(\lambda\). (1 punto)
- Para el caso \(\lambda=2\), resuelva la ecuación matricial \(A^2-AX=I\), donde \(I\) es la matriz identidad de orden \(3\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
El apartado a) pide determinar cuándo la matriz tiene rango máximo y estudiar por separado los valores del parámetro que anulan su determinante.
En el apartado b) se fija \(\lambda=2\). La incógnita es una matriz \(X\) de orden \(3\).
La igualdad:
\[
A^2-AX=I
\]
permite sacar \(A\) como factor común por la izquierda, porque aparece a la izquierda de los dos términos.
🔵 Conceptos matemáticos
Este problema pertenece al bloque de Álgebra.
- Determinante y rango de una matriz.
- Discusión según un parámetro.
- Matriz inversa.
- Ecuaciones matriciales.
Si el determinante de una matriz cuadrada de orden \(3\) es distinto de cero, su rango es \(3\) y la matriz es invertible.
🟢 Estrategia de resolución
Calculamos \(\det(A)\) y hallamos los valores de \(\lambda\) que lo anulan.
En esos casos buscamos un menor de orden \(2\) no nulo para decidir el rango exacto.
Para \(\lambda=2\), factorizamos:
\[
A^2-AX=A(A-X)=I.
\]
Multiplicamos por \(A^{-1}\) y despejamos \(X\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Rango de \(A\)
Calculamos el determinante:
\[
\begin{aligned}
\det(A)
&=1+(\lambda-2)(\lambda-1)-\lambda\\
&=\lambda^2-4\lambda+3\\
&=(\lambda-1)(\lambda-3).
\end{aligned}
\]
Por tanto, si \(\lambda\neq1,3\), se cumple \(\det(A)\neq0\) y:
\[
\operatorname{rg}(A)=3.
\]
Para \(\lambda=1\) o \(\lambda=3\), el determinante se anula. Sin embargo, el menor formado por las dos últimas filas y las dos primeras columnas es:
\[
\begin{vmatrix}
0&1\\
1&0
\end{vmatrix}=-1\neq0.
\]
Así, en ambos casos el rango es \(2\). En conclusión:
\[
\boxed{
\operatorname{rg}(A)=
\begin{cases}
3,&\lambda\neq1,3,\\
2,&\lambda=1\text{ o }\lambda=3.
\end{cases}}
\]
b) Ecuación matricial para \(\lambda=2\)
Al sustituir \(\lambda=2\):
\[
A=
\begin{pmatrix}
1&0&2\\
0&1&1\\
1&0&1
\end{pmatrix}.
\]
Como \(\det(A)=-1\neq0\), la matriz es invertible. Factorizamos la ecuación:
\[
A^2-AX=I
\quad\Longrightarrow\quad
A(A-X)=I.
\]
Multiplicando por \(A^{-1}\) a la izquierda:
\[
A-X=A^{-1}
\quad\Longrightarrow\quad
X=A-A^{-1}.
\]
La matriz inversa es:
\[
A^{-1}=
\begin{pmatrix}
-1&0&2\\
-1&1&1\\
1&0&-1
\end{pmatrix}.
\]
Por tanto:
\[
\begin{aligned}
X&=
\begin{pmatrix}
1&0&2\\
0&1&1\\
1&0&1
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
-1&0&2\\
-1&1&1\\
1&0&-1
\end{pmatrix}\\[4pt]
&=
\boxed{
\begin{pmatrix}
2&0&0\\
1&0&0\\
0&0&2
\end{pmatrix}}.
\end{aligned}
\]
Respuesta: el rango es \(3\) salvo para \(\lambda=1\) y \(\lambda=3\), cuando es \(2\); para \(\lambda=2\), la solución es la matriz anterior.
Qué debes aprender de este problema
- El determinante permite localizar los valores en los que puede disminuir el rango.
- Cuando el determinante se anula, un menor no nulo determina el rango exacto.
- En una ecuación matricial hay que respetar el lado por el que se factoriza y se multiplica.
- La igualdad \(A(A-X)=I\) permite reconocer directamente la matriz inversa.