A1 – Matrices inversas y ecuación matricial
Castilla y León · 2017 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Sean las matrices
\[
A=\begin{pmatrix}1&-4\\-1&3\end{pmatrix},
\qquad
B=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}.
\]
- Estudie si \(A\) y \(B\) tienen inversa y calcúlela cuando sea posible.
- Determine la matriz \(X\) que verifica \(A\cdot X=2B+I\), siendo \(I\) la matriz identidad de orden \(2\).
Puntuación máxima: 2 puntos.
🟠 Comprensión del enunciado
La existencia de la inversa se decide con el determinante. En la ecuación matricial el orden de la multiplicación es esencial: para despejar \(X\), multiplicaremos por \(A^{-1}\) a la izquierda.
🔵 Conceptos matemáticos
- Determinante e inversa de una matriz de orden \(2\).
- Matriz identidad.
- Ecuaciones matriciales.
- Producto de matrices.
🟢 Estrategia de resolución
Calculamos \(|A|\) y \(|B|\). Después despejamos \(X=A^{-1}(2B+I)\) y efectuamos los productos en ese orden.
🟣 Resolución paso a paso
a) Existencia y cálculo de las inversas
Empezamos con \(A\):
\[
|A|=
\begin{vmatrix}
1&-4\\
-1&3
\end{vmatrix}
=1\cdot3-(-4)(-1)=3-4=-1.
\]
Como \(|A|\neq0\), la matriz \(A\) es invertible. Para una matriz de orden \(2\),
\[
\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}
=\frac1{ad-bc}
\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}.
\]
Por tanto:
\[
A^{-1}
=\frac1{-1}
\begin{pmatrix}
3&4\\
1&1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-3&-4\\
-1&-1
\end{pmatrix}.
\]
Para \(B\):
\[
|B|=
\begin{vmatrix}
1&-1\\
-1&1
\end{vmatrix}
=1-1=0.
\]
Así, \(B\) no tiene inversa.
\[
\boxed{
A^{-1}=
\begin{pmatrix}-3&-4\\-1&-1\end{pmatrix},
\qquad B^{-1}\text{ no existe}.}
\]
b) Resolución de la ecuación matricial
\[
A\cdot X=2B+I
\quad\Longrightarrow\quad
A^{-1}A\cdot X=A^{-1}(2B+I)
\quad\Longrightarrow\quad
X=A^{-1}(2B+I).
\]
Calculamos primero el segundo miembro:
\[
2B+I
=2\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}3&-2\\-2&3\end{pmatrix}.
\]
Multiplicamos:
\[
\begin{aligned}
X&=
\begin{pmatrix}-3&-4\\-1&-1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}3&-2\\-2&3\end{pmatrix}\\[2mm]
&=
\begin{pmatrix}
(-3)3+(-4)(-2)&(-3)(-2)+(-4)3\\
(-1)3+(-1)(-2)&(-1)(-2)+(-1)3
\end{pmatrix}\\[2mm]
&=
\begin{pmatrix}-1&-6\\-1&-1\end{pmatrix}.
\end{aligned}
\]
\[
\boxed{X=\begin{pmatrix}-1&-6\\-1&-1\end{pmatrix}.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Una matriz cuadrada es invertible exactamente cuando su determinante no es cero.
- Al despejar una ecuación matricial hay que respetar el lado en el que se multiplica por la inversa.
- Conviene calcular primero las sumas y productos escalares antes del producto matricial final.