A2 – Recta paralela a un plano y perpendicular a otra recta
Castilla y León · 2017 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Determine la recta \(r\) que es paralela al plano
\[
\pi\equiv x-y-z=0
\]
y que corta perpendicularmente a la recta
\[
s\equiv\frac{x-1}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-2}{-4}
\]
en el punto \(P(2,-1,-2)\).
Puntuación máxima: 2 puntos.
🟠 Comprensión del enunciado
La recta buscada pasa por \(P\). Su vector director debe ser perpendicular al vector normal del plano, para que la recta sea paralela a él, y también perpendicular al director de \(s\).
🔵 Conceptos matemáticos
- Vector normal de un plano.
- Vector director de una recta.
- Paralelismo entre recta y plano.
- Producto vectorial y perpendicularidad.
🟢 Estrategia de resolución
Comprobamos que \(P\) pertenece a \(s\) y obtenemos un vector perpendicular simultáneamente a \(\vec n_\pi\) y \(\vec v_s\) mediante su producto vectorial.
🟣 Resolución paso a paso
Punto de corte y vectores conocidos
La recta \(s\) tiene punto \(S_0=(1,-3,2)\) y vector director
\[
\vec v_s=(1,2,-4).
\]
Su forma paramétrica es:
\[
s:\ (x,y,z)=(1,-3,2)+t(1,2,-4).
\]
Para \(t=1\) se obtiene \((2,-1,-2)=P\), luego \(P\in s\).
Vector director de \(r\)
Un vector normal del plano es
\[
\vec n_\pi=(1,-1,-1).
\]
Como \(r\parallel\pi\), su director \(\vec v_r\) debe ser perpendicular a \(\vec n_\pi\). Además, \(r\perp s\), por lo que también debe ser perpendicular a \(\vec v_s\). Tomamos:
\[
\begin{aligned}
\vec v_r
&=\vec n_\pi\times\vec v_s\\
&=
\begin{vmatrix}
\vec i&\vec j&\vec k\\
1&-1&-1\\
1&2&-4
\end{vmatrix}
=(6,3,3)\sim(2,1,1).
\end{aligned}
\]
Comprobamos las dos perpendicularidades:
\[
(2,1,1)\cdot(1,-1,-1)=2-1-1=0,
\]
\[
(2,1,1)\cdot(1,2,-4)=2+2-4=0.
\]
Ecuación de la recta
La recta pasa por \(P(2,-1,-2)\) y tiene director \((2,1,1)\):
\[
\boxed{r:\ (x,y,z)=(2,-1,-2)+\lambda(2,1,1),\quad\lambda\in\mathbb R.}
\]
Equivalentemente:
\[
\boxed{\frac{x-2}{2}=y+1=z+2.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Una recta es paralela a un plano cuando su director es perpendicular al normal del plano.
- Dos rectas son perpendiculares cuando sus vectores directores tienen producto escalar nulo.
- El producto vectorial proporciona un vector perpendicular a dos vectores dados.