A1 – Matriz con parámetro, potencia e inversa
Castilla y León · 2017 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Sea
\[
M=\begin{pmatrix}1&2\\3&a\end{pmatrix}.
\]
Estudie, en función del parámetro \(a\), cuándo \(M\) posee inversa. - Siendo
\[
A=\begin{pmatrix}1&2\\3&7\end{pmatrix},
\]
calcule \(A^2\) y \(A^{-1}\).
Puntuación máxima: 2 puntos.
🟠 Comprensión del enunciado
La inversa existe cuando el determinante no es cero. La potencia \(A^2\) es un producto matricial \(A\cdot A\), no el cuadrado de cada entrada.
🔵 Conceptos matemáticos
- Determinante de orden \(2\).
- Condición de invertibilidad.
- Potencias de matrices.
- Matriz inversa.
🟢 Estrategia de resolución
Calculamos \(|M|\) y aislamos el valor singular de \(a\). Después multiplicamos \(A\cdot A\) y aplicamos la fórmula de la inversa de una matriz \(2\times2\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Valores de \(a\) para los que existe \(M^{-1}\)
\[
|M|=
\begin{vmatrix}
1&2\\
3&a
\end{vmatrix}
=a-6.
\]
La matriz tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero:
\[
a-6\neq0
\quad\Longrightarrow\quad
\boxed{M^{-1}\text{ existe si }a\neq6.}
\]
Para \(a=6\), las filas son proporcionales y \(M\) no es invertible.
b) Cálculo de \(A^2\)
\[
\begin{aligned}
A^2
&=
\begin{pmatrix}1&2\\3&7\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&2\\3&7\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
1\cdot1+2\cdot3&1\cdot2+2\cdot7\\
3\cdot1+7\cdot3&3\cdot2+7\cdot7
\end{pmatrix}\\
&=
\boxed{\begin{pmatrix}7&16\\24&55\end{pmatrix}}.
\end{aligned}
\]
Cálculo de \(A^{-1}\)
\[
|A|=
\begin{vmatrix}1&2\\3&7\end{vmatrix}
=7-6=1.
\]
Como \(|A|\neq0\), existe la inversa:
\[
A^{-1}
=\frac1{|A|}
\begin{pmatrix}
7&-2\\
-3&1
\end{pmatrix}
=
\boxed{\begin{pmatrix}7&-2\\-3&1\end{pmatrix}}.
\]
Qué debes aprender de este problema
- La invertibilidad depende de que el determinante sea distinto de cero.
- Elevar una matriz al cuadrado significa multiplicarla por sí misma.
- Si el determinante vale \(1\), la fórmula de la inversa se simplifica.