A2 – Plano por tres puntos y pertenencia
Castilla y León · 2017 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Considere los puntos \(P(-1,-4,0)\), \(Q(0,1,3)\) y \(R(1,0,3)\). Halle el plano \(\pi\) que contiene a los tres puntos.
- Calcule \(a\) para que el punto \(S(3,a,2)\) pertenezca al plano
\[
\pi\equiv x+y-2z+5=0.
\]
Puntuación máxima: 2 puntos.
🟠 Comprensión del enunciado
Tres puntos no alineados determinan un plano. Dos vectores del plano permiten obtener un vector normal mediante el producto vectorial.
🔵 Conceptos matemáticos
- Vectores determinados por dos puntos.
- Producto vectorial.
- Ecuación implícita de un plano.
- Pertenencia de un punto a un plano.
🟢 Estrategia de resolución
Construimos \(\overrightarrow{PQ}\) y \(\overrightarrow{PR}\), calculamos un normal y usamos el punto \(P\). En el segundo apartado sustituimos las coordenadas de \(S\) en la ecuación.
🟣 Resolución paso a paso
a) Plano que pasa por \(P\), \(Q\) y \(R\)
Calculamos dos vectores del plano:
\[
\overrightarrow{PQ}=Q-P=(1,5,3),
\]
\[
\overrightarrow{PR}=R-P=(2,4,3).
\]
Un vector normal es su producto vectorial:
\[
\begin{aligned}
\vec n
&=\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}\\
&=
\begin{vmatrix}
\vec i&\vec j&\vec k\\
1&5&3\\
2&4&3
\end{vmatrix}
=(3,3,-6)\sim(1,1,-2).
\end{aligned}
\]
La ecuación del plano que pasa por \(P(-1,-4,0)\) es:
\[
1(x+1)+1(y+4)-2(z-0)=0.
\]
\[
\boxed{\pi\equiv x+y-2z+5=0.}
\]
b) Pertenencia del punto \(S\)
Sustituimos \(S(3,a,2)\) en el plano:
\[
3+a-2\cdot2+5=0.
\]
\[
a+4=0
\quad\Longrightarrow\quad
\boxed{a=-4.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Dos vectores no paralelos contenidos en un plano determinan su dirección.
- El producto vectorial de esos vectores proporciona un vector normal.
- Para imponer que un punto pertenezca a un plano se sustituyen directamente sus coordenadas.