A3 – Derivabilidad y condiciones sobre derivadas
Castilla y León · 2017 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Dada la función
\[
f(x)=
\begin{cases}
x,&x\lt0,\\
x^2+ax,&x\geq0,
\end{cases}
\]
calcule \(a\) para que \(f\) sea derivable en \(x=0\). - Halle \(a\), \(b\) y \(c\) para que
\[
f(x)=ax^2+b\sin x+c
\]
verifique \(f(0)=0\), \(f'(0)=1\) y \(f''(0)=2\).
Puntuación máxima: 2 puntos.
🟠 Comprensión del enunciado
La derivabilidad en un punto de unión exige continuidad y que las derivadas laterales coincidan. En el segundo apartado, las tres condiciones producen tres ecuaciones sencillas.
🔵 Conceptos matemáticos
- Continuidad y derivabilidad lateral.
- Derivadas de funciones polinómicas y trigonométricas.
- Condiciones iniciales.
- Resolución de parámetros.
🟢 Estrategia de resolución
Comprobamos primero la continuidad en \(0\) y después igualamos las derivadas laterales. Para la segunda función calculamos \(f'\) y \(f''\) antes de sustituir \(x=0\).
🟣 Resolución paso a paso
a) Derivabilidad en \(x=0\)
Comprobamos la continuidad:
\[
f(0)=0^2+a\cdot0=0,
\]
\[
\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}x=0,
\qquad
\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(x^2+ax)=0.
\]
La función es continua en \(0\) para cualquier \(a\).
Calculamos las derivadas laterales. Por la izquierda:
\[
f'_-(0)=\lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}
=\lim_{x\to0^-}\frac{x}{x}=1.
\]
Por la derecha:
\[
f'_+(0)=\lim_{x\to0^+}\frac{x^2+ax}{x}
=\lim_{x\to0^+}(x+a)=a.
\]
Para que sea derivable:
\[
f'_-(0)=f'_+(0)
\quad\Longrightarrow\quad
1=a.
\]
\[
\boxed{a=1.}
\]
b) Determinación de \(a\), \(b\) y \(c\)
\[
f(x)=ax^2+b\sin x+c.
\]
La primera condición da:
\[
f(0)=a\cdot0^2+b\sin0+c=c=0
\quad\Longrightarrow\quad c=0.
\]
Derivamos:
\[
f'(x)=2ax+b\cos x.
\]
\[
f'(0)=b=1
\quad\Longrightarrow\quad b=1.
\]
Derivamos de nuevo:
\[
f''(x)=2a-b\sin x.
\]
\[
f''(0)=2a=2
\quad\Longrightarrow\quad a=1.
\]
\[
\boxed{a=1,\qquad b=1,\qquad c=0.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- La derivabilidad implica continuidad, pero además exige que coincidan las derivadas laterales.
- Las condiciones en \(x=0\) simplifican por \(\sin0=0\) y \(\cos0=1\).
- Conviene derivar simbólicamente antes de sustituir el punto.