A3 – Mínimo relativo, continuidad y asíntotas
Castilla y León · 2018 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Sea
\[
f(x)=\frac1x+ax+b.
\]
- Encuentre \(a\) y \(b\) para que la función tenga un mínimo relativo en el punto \((\frac12,6)\). (1 punto)
- Suponiendo \(a=4\) y \(b=2\), estudie su continuidad y sus asíntotas. (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
La pertenencia del punto a la gráfica aporta una ecuación y la condición de extremo aporta otra mediante la derivada. Después se estudia la función resultante.
🔵 Conceptos matemáticos
- Condición necesaria de extremo relativo.
- Segunda derivada.
- Continuidad de funciones racionales.
- Asíntotas verticales y oblicuas.
🟢 Estrategia de resolución
Imponemos \(f'(1/2)=0\) y \(f(1/2)=6\), y comprobamos el mínimo con \(f''\). Para la asíntota oblicua calculamos \(m\) y \(n\) mediante límites.
🟣 Resolución paso a paso
a) Determinación de \(a\) y \(b\)
\[
f'(x)=-\frac1{x^2}+a.
\]
Para que haya un extremo en \(x=\frac12\):
\[
f'\left(\frac12\right)
=-\frac1{(1/2)^2}+a
=-4+a=0.
\]
\[
a=4.
\]
El punto \((\frac12,6)\) pertenece a la gráfica:
\[
6=f\left(\frac12\right)
=2+\frac a2+b.
\]
Sustituyendo \(a=4\):
\[
6=2+2+b
\quad\Longrightarrow\quad
b=2.
\]
Comprobamos que es un mínimo:
\[
f''(x)=\frac2{x^3},
\qquad
f''\left(\frac12\right)=16\gt0.
\]
\[
\boxed{a=4,\qquad b=2.}
\]
b) Continuidad y asíntotas
La función queda:
\[
f(x)=\frac1x+4x+2.
\]
Es continua en su dominio:
\[
\operatorname{Dom}(f)=\mathbb R\setminus\{0\}.
\]
En \(x=0\):
\[
\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty,
\qquad
\lim_{x\to0^-}f(x)=-\infty.
\]
\[
\boxed{x=0\text{ es una asíntota vertical}.}
\]
Buscamos la asíntota oblicua \(y=mx+n\):
\[
m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}x
=\lim_{x\to\pm\infty}
\left(\frac1{x^2}+4+\frac2x\right)
=4.
\]
\[
n=\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-4x\bigr)
=\lim_{x\to\pm\infty}\left(\frac1x+2\right)
=2.
\]
\[
\boxed{y=4x+2\text{ es una asíntota oblicua}.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Un punto dado como extremo debe pertenecer también a la gráfica.
- La segunda derivada positiva confirma un mínimo.
- La asíntota oblicua se obtiene con \(m=\lim f(x)/x\) y \(n=\lim(f(x)-mx)\).