A4 – Rectas tangentes y área entre curvas
Castilla y León · 2018 · Extraordinaria
Ficha del problema
Enunciado
Sea \(f(x)=\sin x\).
- Encuentre las rectas tangentes a la gráfica en \(x=0\) y \(x=\pi\), y el punto en el que se cortan. (1 punto)
- Halle el área comprendida entre la gráfica y las rectas \(y=x\) e \(y=-x+\pi\). (1 punto)
🟠 Comprensión del enunciado
Las tangentes delimitan con la curva dos regiones simétricas respecto de \(x=\pi/2\).
🔵 Conceptos matemáticos
- Ecuación de la recta tangente.
- Derivada de la función seno.
- Área entre curvas.
- Simetría e integración definida.
🟢 Estrategia de resolución
Calculamos las dos tangentes con \(y-f(a)=f'(a)(x-a)\). Para el área aprovechamos la simetría y obtenemos primero la primitiva de la diferencia.
🟣 Resolución paso a paso
a) Rectas tangentes
\[
f'(x)=\cos x.
\]
En \(x=0\):
\[
f(0)=0,\qquad f'(0)=1.
\]
\[
y-0=1(x-0)
\quad\Longrightarrow\quad
\boxed{y=x.}
\]
En \(x=\pi\):
\[
f(\pi)=0,\qquad f'(\pi)=-1.
\]
\[
y-0=-1(x-\pi)
\quad\Longrightarrow\quad
\boxed{y=-x+\pi.}
\]
Para hallar el punto de corte:
\[
x=-x+\pi
\quad\Longrightarrow\quad
x=\frac{\pi}{2}.
\]
\[
\boxed{P=\left(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).}
\]
b) Área comprendida
En \([0,\frac{\pi}{2}]\), la recta \(y=x\) queda por encima de \(y=\sin x\). Por simetría:
\[
A=2\int_0^{\pi/2}(x-\sin x)\,dx.
\]
Calculamos la primitiva:
\[
\int(x-\sin x)\,dx
=\frac{x^2}{2}+\cos x+C.
\]
Aplicamos Barrow:
\[
A=2\left[\frac{x^2}{2}+\cos x\right]_0^{\pi/2}.
\]
\[
A=2\left(
\frac{\pi^2}{8}+0-(0+1)
\right)
=\frac{\pi^2}{4}-2.
\]
\[
\boxed{A=\frac{\pi^2}{4}-2\ \text{u}^2\approx0{,}467\ \text{u}^2.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- La pendiente de la tangente en \(x=a\) es \(f'(a)\).
- Antes de integrar hay que identificar qué curva está por encima.
- La simetría permite reducir el cálculo a la mitad del recinto.