A3 – Teorema de Bolzano y existencia de una raíz
Castilla y León · 2017 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Enuncie el teorema de Bolzano e interprételo geométricamente.
- Encuentre un intervalo en el que \(P(x)=x^6+x^4-1\) tenga al menos una raíz.
Puntuación máxima: 2 puntos.
🟠 Comprensión del enunciado
No se pide calcular la raíz. Basta encontrar un intervalo cerrado en el que el polinomio sea continuo y tome valores de signos contrarios.
🔵 Conceptos matemáticos
- Continuidad en un intervalo cerrado.
- Teorema de Bolzano.
- Cambio de signo.
- Existencia de ceros de una función.
🟢 Estrategia de resolución
Enunciamos el teorema y evaluamos el polinomio en valores sencillos. Los puntos \(0\) y \(1\) producen signos opuestos.
🟣 Resolución paso a paso
a) Teorema de Bolzano
Si una función \(f\) es continua en un intervalo cerrado \([a,b]\) y sus valores en los extremos tienen signos contrarios, es decir,
\[
f(a)\,f(b)\lt0,
\]
entonces existe al menos un punto \(c\in(a,b)\) tal que
\[
f(c)=0.
\]
Interpretación geométrica: si la gráfica de una función continua pasa de un lado al otro del eje de abscisas entre \(x=a\) y \(x=b\), debe cortar dicho eje al menos una vez.
b) Aplicación al polinomio
La función
\[
P(x)=x^6+x^4-1
\]
es un polinomio, por lo que es continua en todo \(\mathbb R\). Calculamos:
\[
P(0)=0^6+0^4-1=-1\lt0,
\]
\[
P(1)=1^6+1^4-1=1\gt0.
\]
Como \(P\) es continua en \([0,1]\) y
\[
P(0)\,P(1)=-1\lt0,
\]
el teorema de Bolzano garantiza que existe al menos un \(c\in(0,1)\) para el que \(P(c)=0\).
\[
\boxed{\text{\(P(x)\) tiene al menos una raíz en el intervalo }(0,1).}
\]
Qué debes aprender de este problema
- Bolzano garantiza existencia, pero no proporciona el valor exacto de la raíz.
- Los polinomios son continuos en todo \(\mathbb R\).
- Para aplicar el teorema es imprescindible comprobar un cambio estricto de signo.