A4 – Recta tangente y área entre curvas
Castilla y León · 2017 · Ordinaria
Ficha del problema
Enunciado
- Calcule la recta tangente a la curva \(f(x)=4e^{x-1}\) en el punto \((1,f(1))\).
- Calcule el área de la región delimitada en el primer cuadrante por la gráfica de \(g(x)=x^3\) y la recta \(y=4x\).
Puntuación máxima: 2 puntos.
🟠 Comprensión del enunciado
En el primer apartado necesitamos el punto y la pendiente de la tangente. En el segundo hay que hallar los puntos de corte y restar la curva inferior a la superior.
🔵 Conceptos matemáticos
- Derivada y recta tangente.
- Puntos de corte entre curvas.
- Integral definida.
- Área entre dos gráficas.
🟢 Estrategia de resolución
Usamos \(y-f(a)=f'(a)(x-a)\). Para el área resolvemos \(x^3=4x\), identificamos la función superior en el primer cuadrante y aplicamos la regla de Barrow.
🟣 Resolución paso a paso
a) Recta tangente
El punto de tangencia tiene abscisa \(x_0=1\). Calculamos su ordenada:
\[
f(1)=4e^{1-1}=4.
\]
Derivamos:
\[
f'(x)=4e^{x-1},
\qquad
f'(1)=4.
\]
La ecuación de la tangente es:
\[
y-f(1)=f'(1)(x-1).
\]
\[
y-4=4(x-1)
\quad\Longrightarrow\quad
\boxed{y=4x.}
\]
b) Área entre \(y=4x\) y \(y=x^3\)
Calculamos los puntos de corte:
\[
x^3=4x
\quad\Longrightarrow\quad
x(x^2-4)=0
\quad\Longrightarrow\quad
x=0,\;x=2,\;x=-2.
\]
En el primer cuadrante nos interesan \(x=0\) y \(x=2\). Por ejemplo, para \(x=1\):
\[
4x=4\gt1=x^3,
\]
por lo que la recta está por encima de la curva en \([0,2]\).
Calculamos primero una primitiva:
\[
\int(4x-x^3)\,dx
=2x^2-\frac{x^4}{4}+C.
\]
Aplicamos la regla de Barrow:
\[
\begin{aligned}
A
&=\int_0^2(4x-x^3)\,dx\\
&=\left[2x^2-\frac{x^4}{4}\right]_0^2\\
&=\left(2\cdot2^2-\frac{2^4}{4}\right)-0
=8-4=4.
\end{aligned}
\]
\[
\boxed{A=4\ \text{unidades}^2.}
\]
Qué debes aprender de este problema
- La pendiente de la tangente en \(x=a\) es \(f'(a)\).
- Antes de integrar hay que decidir qué función queda por encima.
- En un problema de área se toman los puntos de corte que delimitan la región indicada.